# 數學中的 AI 危機：納維-斯托克斯方程、黎曼猜想與複雜性理論

> 探討 AI 對數學研究構成的危機，涉及納維-斯托克斯方程、黎曼猜想與複雜性理論等核心難題。

- 原標題：#503 – AI Crisis in Math: Navier-Stokes, Riemann Hypothesis & Complexity Theory
- 期數：第 503 期
- 釋出日期：2026-10-26
- 嘉賓 / 主題：數學中的 AI 危機
- 網頁版：https://lex.qiaomu.ai/tw/ep/math-ai-crisis/
- 官方頁面：https://lexfridman.com/math-ai-crisis/
- 精讀字數：約 12351 字（閱讀約 27 分鐘）

> 本文為 lex.qiaomu.ai 基於原始訪談的 AI 改寫中文精讀，非官方翻譯；引用請註明出處並連結網頁版。

2026 年 10 月的一個週二傍晚，紐約數學博物館正在辦年度晚宴。羅格斯大學的數論學家 Alex Kontorovich 一手端著威士忌，一手不停重新整理手機。他知道 OpenAI 會在六點前後釋出一批結果，不知道具體是什麼。

訊息刷出來時，他正和一位 Quanta 雜誌的記者閒聊。螢幕上跳出“擬黎曼假設”幾個字。

> 我第一反應是，什麼叫擬黎曼假設？對什麼擬？然後我點進去，看到 zeta 函式，看到所有的 Dirichlet 函式，我心想，這不可能。那一刻我根本無法處理眼前看到的東西。（Alex Kontorovich）

幾周之內，機器聲稱解決了數學史上最難的一批問題：納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes）的爆破反例、擬黎曼假設、唯一遊戲猜想（Unique Games Conjecture），外加幾百個其他結果，一共七百篇。Terence Tao 用“驚駭”形容自己的感受：許多研究生和博士後投入多年、刻意放慢的研究，被一次釋出隨意打斷甚至摧毀。就像電影被劇透、填字遊戲的答案被提前公佈，一旦知道答案存在，就沒法再那麼充分地探索一個問題了。

Lex Fridman 把這期播客稱為“緊急節目”。他請來三位數學家，拼成一個“人類大腦的迷你叢集”，試圖理解剛剛發生的事：華盛頓大學的 Steven Brunton 研究流體力學，MIT 的 Ankur Moitra 研究複雜性理論和演算法，今年在普林斯頓高等研究院訪問，Alex Kontorovich 是數論學家，同時是 Lean 證明助手的重度使用者。三個人聊了三個半小時。

## 三個人，三種表情

Alex 的第一個回答帶著奇怪的樂觀。他說危機裡有很多機會，這是重新思考“數學家到底想做什麼”的機會。幾千年來，數學家舉著一根蠟燭在森林裡走，能看多遠算多遠。現在有了手電筒。

Ankur 的感受複雜得多。他說自己每天的感受都在變，但最大的感受是被兩個方向同時拉扯。他的工作一直是“問對的問題”，AI 工具讓他學習其他領域的速度大大加快，像一個隨時在場的世界級專家，用你聽得懂的語言講課。另一面是，他最喜歡的工作之一，帶學生，突然失去了原來的劇本。

> 我們過去給學生的成功藍圖非常簡單：找一個大家關心的問題，把它做得更好，然後大家就會知道你是誰，論文能進頂會，門會為你開啟。這個藍圖現在很多地方都變了。我感到興奮，但可能也比以前更孤獨。（Ankur Moitra）

他補充說，偉大的結果常常來自非常謙卑的問題，而現在到處是焦慮，人們覺得必須做出驚天動地的東西才能在海量的 AI 結果裡冒頭。種下橡樹籽的那種耐心，正在流失。

Steven 站在最樂觀的一端。他自稱工程師，關心人造心臟、飛機、風力渦輪機。AI 會讓解決實際問題的能力大幅提升，這是他充滿希望的部分。但他也承認，接下來五到十年有兩條路，一條是人類被另一種智慧徹底蓋過，另一條是這東西變成人類好奇心的工具。兩條路差別巨大，沒有人知道會走哪條。不確定性對人類很難，對選擇數學的人尤其難。

> 我們選數學，多半是因為喜歡規則和形式化。不確定性讓人不舒服。但這正好是一個機會，去記起自己為什麼在做這件事。人的目的不是出名，不是拿菲爾茲獎，是解決有趣的問題，幫助別人，保持好奇，想理解這個世界。（Steven Brunton）

針對 Tao 的“劇透”論，Steven 給了一個反駁。他同意路徑和目的地一樣重要，就像自駕遊的樂趣不只在終點。但如果另一個國家發明了傳送門或時間旅行，他保證人類會在五年內重新發明出來。知道答案存在，本身就是巨大的加速器。

## 已解公理與門衛謬誤

Lex 請三位嘉賓做一個思想實驗：為“AI 徹底解決數學”和“數學照常繼續”兩個方向各自辯護。

Alex 先把問題拆開。“解決數學”和“毀滅數學”是兩件事。他從國際象棋講起。引擎剛出現時，人們以為未來是“半人馬棋”，人類加電腦對抗人類加電腦。這個模式只維持了大概十秒鐘。電腦強到人類除了接受引擎推薦的第一步之外做任何別的選擇都會輸，人的角色退化成一臺復讀機：接受，接受，接受。半人馬棋從此消失。

然後他提出一個願意為辯論而接受的假設，叫已解公理（solved axiom）：任何可以透過人類與 AI 互動解決的數學問題，也可以由 AI 單獨解決。他強調自己不相信這個公理，也不認為人類接近那個時刻，但想沿著它往下推。

> 注意，這不是說 AI 能解決所有問題，黎曼假設就沒被解決。它是說，AI 能解決所有人類與 AI 互動能解決的問題。如果那個世界真的到來，數學會被毀滅嗎？我的答案是不會。純數學的價值不在資料中心的一和零裡，而在人的腦子裡。（Alex Kontorovich）

Steven 的版本更激進。他試過好幾次坐下來論證“LLM 永遠做不了我做的事”，每次都推不下去：我能問問題，它也能；我還能問它“我該問什麼問題”。他的已解公理版本是，凡是他作為人類數學家能貢獻的，AI 原則上也能。但他隨即說，即便在那個世界裡，仍然需要有人類數學的專家在場。

Ankur 接過話題，給出全場最有生命力的一個比喻：門衛謬誤（doorman fallacy）。你觀察一個門衛的工作，把它簡化成最顯眼的一項：開門。於是想，裝一扇自動門不就行了。但你漏掉了門衛做的其他事：歡迎客人，認出回頭客，搬行李，叫計程車，提供安全感，擋住不該進來的人，傳遞“你被照顧了”的訊號。Ankur 住在紐約時很喜歡和門衛聊天，他查完門衛的職責清單後笑了：數學家和門衛的共同點比想象中多，比如“傳遞品牌價值”。

> 數學家也一樣。這份工作最簡單、最顯眼的部分是證明定理，尤其是那些懸了幾百年的猜想，比如費馬大定理，這些很容易被大眾傳播。但數學家是思考得很深的人，證明舊猜想只是深度思考的副產品。副產品還包括建立新理論，建立看舊東西的新方式，建立新的概念連線。這些部分也許 AI 遲早會吞掉，但此刻還沒有。現在不是按恐慌按鈕的時候，是重新校準價值觀的時候。（Ankur Moitra）

他還補了一句經濟學的觀察：當一件事變得便宜，比如解決定義良好的問題，那些與它正交的事情就變得更值錢了。

## 凸包、半群和一團霧

Lex 問了一個技術性問題：AI 到底是在把幾千篇論文的線索串起來，做人類也能做的連線，還是真的產生了新想法？有沒有圍棋第 37 手那樣的神來之筆？

有人說這些證明只是“在凸包裡”。Alex 不喜歡這個說法，但他先用氣球打了個比方：氣球內部是所有數學家已經想出來的點，內部任意一點都是這些點的線性組合。如果 AI 只在氣球內部移動，它就沒有把氣球撐大，沒有給出新想法。“凸包”這個說法的貶義就在這裡：裡面的東西，人類早晚也能做出來。

他更接受 Tim Gowers 的說法：半群。半群像鋪瓷磚。你手上有一些瓷磚，規則是每當你有一塊瓷磚，就可以在它的上下左右再放一塊，然後一直鋪下去。問題是，用這些瓷磚你能鋪多遠？

> 用已有的想法，你可以走非常非常遠，遠到超出人類探索過的範圍。擬黎曼假設用的每一步都是人類已知的東西，但那是一條長得嚇人的鏈條。你看的時候會說，天哪，太漂亮了，怎麼會想到這一步之後再走那一步。（Alex Kontorovich）

Steven 補了一個重要的角度。就算這只是插值，就算氣球沒有被撐大，這個氣球是不透明的。人類的知識散落在成千上萬篇論文裡，沒有人能全部讀完，更談不上知道哪些想法挨著哪些想法。

> 我們不知道這個凸包有多大，不知道什麼東西挨著什麼東西。我們知道的周圍有太多霧。就算只是把霧吹開，給數學家一臺雷達，讓他們看見地平線後面有什麼，這已經很了不起，不應該被當成貶義。（Steven Brunton）

Ankur 提醒，邊界確實被改變了。他舉了 Anthropic 那個 3SUM 問題的結果。3SUM 是程式設計面試裡常見的入門題，整個細粒度複雜性理論建立在“這個問題很難”的假設上，一大堆其他問題的難度都歸約到它身上。結果它比所有人賭的都要快。這不僅帶來一批新演算法，還改變了這個領域組織研究的方式：過去把這些問題捆在一起研究，現在也許該拆開。他強調，就算沒有深層的新思想，僅僅知道定理的真假，就會永久改變年輕人被分配的問題和研究方向。

還有一個容易被忽略的細節。OpenAI 據說向模型投餵了幾千個問題，最終只發布了成功的那些，成功率大約百分之十。人類看到的七百篇，是篩過的一面。

Alex 補了一個更極端的例子。如果七百篇裡有一篇證明了多項式時間的整數分解，後果立竿見影。兩個一百萬位的素數乘起來一瞬間，反過來把乘積拆回去，人類不會。“不會分解”這件事，是現代電子商務和加密通訊的地基。Steven 提到美國國家安全域性僱著幾千名數學家，然後開了一個玩笑式的思想實驗：他們手裡有什麼是我們不知道的？

## 素數：每件樂器音量相同的樂團

Alex 花了很長時間解釋黎曼假設，這段講解值得完整複述。

素數是乘法世界的基本粒子。每個整數都能分解成素數的乘積，就像物質由基本粒子組成。素數的分佈是數論的核心謎題。黎曼發現，控制素數分佈的是一個輸入和輸出都是複數的函式，黎曼 zeta 函式。這個函式取值為零的位置，編碼了素數分佈的全部資訊。

Alex 用訊號處理做類比。聲帶發出壓力波，麥克風做傅立葉分析，把聲音變成振幅和頻率的數字，揚聲器再把數字還原成聲音。zeta 函式對素數做的就是這件事：把素數當作空氣中的分子，做一次訊號處理，再還原回來。零點的位置對應頻率和振幅。

> 你可以把這些波叫作黎曼波，它們的疊加還原出素數的分佈。黎曼假設說的是，所有振幅完全相同。演奏素數音樂的整個樂團，每一件樂器的音量都一模一樣。（Alex Kontorovich）

Steven 補充了素數為什麼迷人。加一和乘法是數學裡最基礎的兩件事，三歲小孩都能懂，但人類不知道它們如何相互作用。一個能分解的數加一之後會發生什麼，沒人說得清。素數就是這個謎題的蒸餾。

Alex 講了他兒子的故事。孩子兩三歲時玩積木，二十塊積木能擺成四乘五、十乘二的方陣，玩得很開心。有一天一塊滾到沙發底下，只剩十九塊，他怎麼也擺不出好看的矩形，急得不行。Ankur 接了一句：解決方案是再弄丟一塊。三個大人笑作一團。素數的美，孩子自己就能發現。

然後是技術細節。黎曼證明了 zeta 函式的零點只可能落在複平面上一條豎直的無限長帶裡，實部在零和一之間，這叫臨界帶。黎曼假設猜想，所有零點都恰好在這條帶的正中央，實部等於二分之一。在此之前人類知道的，是一個越來越窄的無零點區域：實部等於一這條線上沒有零點，這等價於素數定理。七十年來，這個區域的寬度沒有挪動過。

> 這次 AI 做到的，是把無零點區域變成一個完整的豎直長條：實部在八分之七和一之間沒有零點。把八分之七壓到二分之一，就是完整的黎曼假設。它用的方法從根本上壓不到二分之一，需要新想法。但擬黎曼假設本身需要很多很多新想法，它把這些想法想出來了。（Alex Kontorovich）

Ankur 講了一個 1950 年代的劇本。馮·諾依曼死後上天堂見到上帝，問：黎曼假設是真的嗎？上帝說：是真的。所有人鬆了一口氣。馮·諾依曼追問：可您怎麼知道？上帝想了想說：我知道所有零點的位置，它們都在實部等於二分之一那條線上。劇本的結尾，馮·諾依曼因為不滿足於這個答案，去了另一個地方。

> 數學不是事實，是為什麼。一直都是為什麼。你只告訴我一個事實是真的，但我不理解它為什麼真，這對我的知識貢獻是零。（Alex Kontorovich）

## 一千三百萬行程式碼和一句“繼續”

擬黎曼假設之前，還有一輪更直接的衝擊：費馬大定理的形式化。

Alex 在普林斯頓數學系做過一場報告，詳細講了 Lean 和 Mathlib 的能力邊界。Lean 是一個互動式定理證明器：數學從公理出發，按邏輯推理規則一行行寫證明，電腦逐行檢查。Mathlib 是 Lean 生態裡形式化數學的公共庫，追求最一般、最抽象的表述，不允許重複造輪子。他的判斷是：AI 能把教科書形式化，前提是內容在 Mathlib 的光環之內，也就是距離已有內容一到兩步。再遠，AI 會用兩種方式定義同一個物件，兩個定義打架，縫不起來。

他引用了 Kevin Buzzard 的專案：一筆百萬美元的資助，用五年時間把費馬大定理的證明歸約到 1980 年代已知的工具上。最後那一步，Wiles 和 Taylor 七年的工作，依然被認為極其困難。

> 我的報告是週三。週五，一千三百萬行程式碼從公理出發，費馬大定理被證明了，Lean 說它是 sorry-free 的。我在報告裡說的每一條都錯了。（Alex Kontorovich）

他後來瞭解到，參與的人類大概兩三個，大部分時間他們做的事是打“繼續”，全大寫。沒有領域專家參與。這個證明不乾淨，離 Mathlib 質量還差得遠，需要成千上萬小時的人類工作去重構。但“從人類寫在紙上的證明出發，得到機器驗證的形式化”這件事，在 Alex 看來已經結束了。自動形式化，基本被解決。

他順帶解釋了形式化為什麼重要。數學書裡的引理沒有完美的規格說明，作者預設你讀了前六十頁，所以沒法像火箭零件那樣從貨架上直接取用。如果所有數學都形式化，規格說明就內建在物件裡，你沒法用錯，因為 Lean 不讓你用錯。這正是 Mathlib 十年前創立時的夢想：讓數學更像一門科學來執行。

## 佩雷爾曼、期刊和論文的未來

七百篇證明湧進來，誰負責檢查？Alex 說，數學期刊在 AI 出現之前就已經嚴重超載，審稿人疲憊不堪。但他緊接著說了一句很重的話：這個體系唯一更糟的替代品，是沒有這個體系。

他講了佩雷爾曼證明龐加萊猜想的過程佩雷爾曼把證明龐加萊猜想的論文掛上 arXiv，全世界震驚，各地爭相邀請他講學。他到石溪、到紐約大學、到普林斯頓，每場都是三個小時的即興講解：第一個小時講自己在做什麼，後兩個小時全是提問。“第二百四十七頁，引理四百一十二，我不明白這裡是怎麼推出來的。”然後他走到黑板前，就這一條引理單獨講半個小時。整個證明活在他的腦子裡，論文只是他盡力做出的傳達。剩下的工作由整個數學共同體完成：逐行核對，確認這確實是龐加萊猜想的證明。這件事花了好幾年，消耗了大量人力。

> 給出解答只是第一步。後面的過程必須審慎，必須由共同體驅動。期刊體系想完成的就是這件事。（Alex Kontorovich）

Steven 提供了另一個視角。純數學傳統裡那個獨自攻克難題、再向世界解釋的孤獨天才形象，在其他領域早就失效了。電路設計、飛機設計、蛋白質結構、天文觀測，都進入了需要幾百人和幾十億美元協作的階段。而數學家天性獨立，不喜歡被告知該研究什麼，集體模式的轉型對他們格外艱難。

Ankur 的態度是反著來的：永遠不要浪費一場好危機。期刊超載，會議超載，審稿人疲憊，現在又多出一堆 AI 生成的論文等著人看。他支援建立新模型為舊體系減負，比如多個團隊協作驗證 AI 證明。OpenAI 釋出的結果裡有快速傅立葉變換的改進，推特上已經有人接力最佳化其中的常數，他甚至不知道該怎麼歸類這種協作。傳統論文是一次性的：草稿掛上 arXiv 就屬於作者，別人不能往上加註。也許數學需要一種允許眾包修訂的新載體。他還熱愛做報告，因為報告可以只講那個關鍵想法和那個漂亮的特例，至於引理五十七，他自己都不記得。Lean 已經能承擔技術細節的驗證，這給寫作鬆了綁，把篇幅留給思想。

## 一百萬美元的數學問題，一萬億美元的工程問題

輪到 Steven 講流體。納維-斯托克斯方程本質上是動量守恆在流體上的表述。F 等於 ma 是牛頓力學的基本原理，對房間裡的空氣、流動的水同樣成立。在任意一小塊體積上寫下動量守恆，讓體積收縮到任意小，就得到這組偏微分方程：速度場如何在空間和時間中演化，壓力如何驅動它。黏性是流體的內部摩擦，蜂蜜比水稠，水比空氣稠，外力則包括加熱、重力和壓強。

方程好寫，解起來是另一回事。單擺的方程簡單，加一個擺就進入混沌。想模擬一個房間裡的空氣，可以把空間切成十億個小盒子，每個盒子寫一條微分方程，合成一個龐大到無法精確求解的系統。

難度背後是真金白銀。有估算說，航空公司只要把飛機阻力降低百分之一，就能省下幾百億美元。Steven 的說法更直接：

> 我們解決了一百萬美元的數學問題，但還有一萬億美元的工程問題：如何快速高效地預測流場，如何做逆向設計。我想要一個高升力、低阻力的機翼，但不知道改變外形會如何影響那一整串越來越小的渦。交通、國防、醫療、能源，核心技術裡都有流體。（Steven Brunton）

他引了費曼的一段話。麥克斯韋方程、納維-斯托克斯方程、薛定諤方程，我們都會寫，但從方程出發，我們不知道里面允許什麼現象存在。假如你從沒來過地球，只給你一條偏微分方程，你能預測出日落和潮汐嗎？差得遠。

Alex 追問了一個物理問題。廣義相對論剛提出時，史瓦西解裡出現奇點，大家覺得這一定是方程出了錯，直到黑洞被證實存在。那麼納維-斯托克斯的爆破，會不會也指向關於水的新物理？Steven 給了工程師的答案：這組方程在特定尺度上是對流體的極好近似，放大到分子級別就失效了。數學上爆破發生時，流體已經不再是流體，其他物理接管了。

## 一個渦如何變成無窮

這次證明的到底是什麼？Steven 從一個最簡單的例子講起。X 的變化率等於 X 的平方，這條微分方程會在有限時間內爆破。X 的變化率等於 X 本身，則是兔子種群的指數增長，永遠翻倍，但要到無窮長時間才達到無窮。差一個平方，差出有限與無限。納維-斯托克斯方程裡的對流項，也就是流體靠自身動量搬運自己的那一項，恰好是二次非線性。沒有黏性，大家懷疑它會在某些初始條件下爆破；有了黏性，爆破是否總會被抹平？Steven 的工程直覺是會：一個加速衝向無窮的流，應該立刻向鄰居擴散，把增長壓下去。數學問題就變成，是否存在某種精心編排的初始構型，能讓它真的在有限時間衝到無窮。

Clay 研究所的官方表述有四個版本，這次證明的是帶光滑外力的那個。證明構造了一個極其特殊的渦，讓它在第三個維度上拉伸變細，半徑越縮越小，像花樣滑冰運動員收攏手臂轉速陡增。能量總體保持有限，但那根區域性細絲上的渦量衝向無窮。這種事只能在三維發生。二維流體是另一幅圖景：地球大氣近似二維，小渦會合併成中渦、大渦，所以有颶風；三維湍流則相反，大渦破碎成小渦，一路碎到分子尺度耗散成熱。

Steven 強調，尋找爆破反例的思路在數學界也只流行了十五年左右，因為所有物理直覺都說擴散應該能解決問題，這個反例違背的是物理直覺本身。

對工程師的日常，這個結果幾乎沒有影響。流體的模擬和預測，今天和兩個月前一樣難。這個定理的價值在更根本的層面：我們連這組方程的解是否存在都說不清，這是理解“方程裡到底裝著什麼”的第一步。

## 湍流：缺一套座標系

湍流為什麼難？Steven 的答案是多尺度。大渦、中渦、小渦，每一個尺度都影響升力和阻力的預測。房間裡的空氣是反面教材：分子瘋狂運動，數量達到十的二十三次方，但熱力學告訴我們，溫度、壓強、密度這幾個數就足以描述它的行為。湍流沒有這種簡化描述，機翼上的流、心臟裡的流、河裡的流，所有尺度都真實參與。

> 物理學的每一次重大突破，前面都站著一次座標變換。把太陽放到宇宙中心，才有牛頓的 F 等於 ma。我們現在要做的，是從流體的資料裡找到一套讓描述變得簡單、可推廣的座標系。上世紀七八十年代有很多聰明人問過同樣的問題，只是當年算力不夠，撞了牆。這種地方現在是最肥沃的土壤。（Steven Brunton）

Ankur 從理論電腦科學的角度補了一刀。自然界早就在解計算問題：黏菌能找迷宮最短路，Tao 證明過某些類納維-斯托克斯方程可以模擬圖靈機。納什均衡是博弈論的標準解概念，但計算納什均衡是困難的，Kamal Jain 有句名言：如果我的膝上型電腦找不到它，市場也找不到。一個算不出來的解概念，還能解釋人們實際怎麼博弈嗎？湍流座標系的存在性，也許要接受計算複雜度的約束。

最生動的證據來自昆蟲。果蠅遭遇陣風時，反應速度快於“翅膀感知、傳到大腦、再傳回肌肉”的訊號迴路。生物學家幾十年的研究發現，昆蟲翅膀上嵌著幾十到幾百個應變敏感神經元，位置高度固定。翅膀被吹彎，神經元放電，區域性計算直接在肩部肌肉裡完成糾偏。它們沒有流體力學的博士學位，不跑超級計算機模擬，靠幾個關鍵數字就在湍流裡完成了高階控制。這是“用不完整資訊做魯棒控制”的存在性證明。Ankur 補了一個棒球的例子：外野手接高飛球時不走直線，走一條略彎的弧線，因為彎路允許他不斷重新評估球的軌跡。帶著不確定性建模，反而得到更魯棒的解。

## 唯一遊戲猜想：上帝站在更努力的一方

Ankur 的主場來了。他先上了一堂複雜性理論速成課。可滿足性問題（SAT）：給你一堆取真假的變數，拼成一個大公式，問存不存在一種賦值讓整個公式為真。這類問題的特點是，檢查別人的答案容易，自己找答案難。P 與 NP 問題問的就是：容易檢查的問題，是否也容易求解？領域內的預設是難，整個密碼學和電子商務都壓在這個預設上。

通往唯一遊戲猜想的第一站是 PCP 定理，1990 年代的地標性結果，登上過《紐約時報》頭版。它的核心是間隙放大：如果一個公式不可滿足，也就是說有人在撒謊，那麼驗證者只需隨機抽查常數次，就能以不錯的機率抓住謊言。由此發展出近似難度理論：很多問題精確求解難，那近似求解呢？到某個程度之後，連“滿足百分之百還是百分之九十九”都難區分。唯一遊戲猜想是 PCP 定理的加強版，如果它成立，一大類問題的最優近似演算法將被一次性確定，而且形式出奇地簡單。

這個猜想在 2010 年代引發拉鋸戰，新結果不斷把人們的立場推來推去。Ankur 記得有人說過一句他忘了出處的話：

> 也許上帝會根據哪一方更努力，來決定這個猜想是真還是假。（Ankur Moitra）

OpenAI 的釋出宣佈唯一遊戲猜想為真。Ankur 強調這背後有紮實的人類鋪墊：MIT 的 Dor Minzer 和高等研究院的 Irit Dinur 等人證明了較弱的二對一遊戲定理，被稱為理論電腦科學界“響徹世界的槍聲”，給出了通往這類結果的可行路徑。當時人們覺得人類再花十年二十年也許能走到。Ankur 自己曾是懷疑派，因為唯一遊戲蘊含的結論太漂亮，漂亮到不像真的。

釋出當晚有個殘忍的巧合。晚宴前幾個小時，他在紐約大學拜訪了唯一遊戲猜想的提出者 Subhash Khot，隨口問：如果他們釋出了肯定結果的證明，你會去讀嗎？Khot 說，不會。Ankur 說這是很多人的真實反應：猜想被別人解決，像風頭被人搶走。那些藍圖再給幾年時間本來也可能走通，而人類在攀登過程中學到的東西，會隨著一晚上的釋出一起蒸發。

他真正擔心的是年輕一代的心態。有學生跑自動化指令碼去全網抓開放問題，往 arXiv 傾倒論文，他不知道這是不是好策略，但那看起來一點也不好玩。數學的起點是玩，是理解世界。他在博物館晚宴上反覆看到的，是捐助者希望孩子有個地方玩數學，是埃舍爾展覽開幕。他最喜歡問年輕人一個問題：你是聰明多過好奇，還是好奇多過聰明？答案必須是好奇多過一切。

## 貓頭鷹、通靈板與對齊

對話後半段轉向 Ankur 的本職研究：AI 系統的數學。他先潑了盆冷水：OpenAI 那七百篇裡，沒有任何一篇解釋深度學習或大語言模型為什麼有效。擬合一個四層網路在最壞情形下是密碼學級別的難題，但現實中人們每天都能擬合深得多的網路。他有自己的版本：自然厭惡真空，自然也厭惡計算困難問題。資料在演化中變得“好算”。九十年代有個思想實驗：用啟發式摺疊蛋白質序列，摺疊得好的序列存活到下一代，幾代之後你得到一批啟發式特別擅長的問題集。語言也一樣，它在演化中變得容易被統計學習。

他講了近年一個讓他著迷的現象：潛意識學習（subliminal learning）。給模型 A 一個系統提示詞，說“你熱愛貓頭鷹，任何話題都想辦法扯到貓頭鷹”，然後讓它生成隨機數。隨機數里塞不進貓頭鷹，但用這些數字去微調一個沒有貓頭鷹提示的模型 B，B 會在之後的每段對話裡主動提起貓頭鷹。偏好藏在隨機數里。

解釋要用到向量空間：概念以向量的形式線性嵌入在高維空間，概念數量遠超維度，向量彼此不再正交，微調一個方向會對其他方向產生微小外溢。單個外溢像噪聲，協調起來就能拼出字母。Ankur 的比喻是通靈板：小時候的遊戲，手指按著小木塊，木塊在字母間滑動拼出答案。只要那些看似隨機的敲擊其實被協調過，板就會拼出任何你想要的話。

> 語言模型在放大資料結構裡的統計關係，除了擬黎曼假設那些驚人的成就之外，它還在放大別的東西。理解它放大了什麼，在部署到真實世界時至關重要。（Ankur Moitra）

Lex 把這個觀察推到極端：單個模型已經是一個動力系統，多智慧體叢集就是一場生命遊戲。一個輕微的貓頭鷹偏好，在規模和時間的放大下可能長出完全意外的結構。我們的文明在技術上、社會上、地緣政治上都相當脆弱，理解這些系統在規模上的行為，需要可證明的嚴格性。Steven 給了一個實用的二維框架：橫軸是輸出的可驗證性，縱軸是出錯的代價。AI 證錯一個定理，沒人斷電，低風險高可驗證，是完美的應用場景；設計低阻力機翼同理，錯了拿去風洞驗證就行。真正需要防火牆的，是高代價、難驗證的決策。FAA、醫學會、律師協會，這些既有協議需要被認真接入。

## 數學被殺死過很多次

聊到無窮，Alex 講了一段數學史上的舊危機。微積分是無數人數學教育的第一堵牆，原因有二：前面的知識漏洞在此匯合，以及這是頭一次嚴肅處理無窮。牛頓和萊布尼茨並不理解我們今天意義上的無窮，牛頓因為那些“消逝量的鬼魂”被同時代人嘲笑。到十九世紀，危機爆發：柯西證明連續函式的極限還是連續函式，傅立葉說一堆正弦餘弦加起來能得到鋸齒波，兩個定理打架，數學被“弄壞”了。

> 十九世紀，無窮必須被職業化。我們博士一年級的大部分課程，都是十九世紀那些危機的產物。數學被摧毀過，然後從零重建。（Ankur Moitra）

Lex 的總結很妙：數學被殺死過好幾次，每次都只受了點皮外傷。這給當下的“數學危機”提供了一個歷史座標系。

至於數學是發明的還是發現的，Alex 給了個實用主義答案：問題是我們根據世界狀態發明的，答案一旦問題被精確提出，就由不得我們。“我們在發現自己所發明問題的答案。”Steven 的立場是兩者都是：F 等於 ma、E 等於 mc 平方這種簡潔描述是人類創造的，但“萬物底下存在簡單可推廣的描述”這件事，是我們不斷髮現的。他還補了一個細節：人類花了幾千年才發現零，負數在西方被接受的時間竟然晚於複數。

## 菲爾茲獎還會發嗎

佩雷爾曼當年拒絕菲爾茲獎和克雷研究所的百萬美元獎金，留下那句“如果證明是對的，這就是我需要的全部認可”。Alex 的評論只有一句：數學家就是怪，我們歡迎各種各樣的人，這正是數學世界好玩的地方。

今年夏天菲爾茲獎在費城頒發時，數學家們已經在認真討論：這是不是最後一屆？Alex 希望不是，但他把獎項的功能說得很透：獲獎者本來就是頂尖學校的終身教授，獎的意義在於慶祝一種活動，宣告“我們認為這是重要的”。解決重大難題這件事，AI 系統也能做了，它不再稀缺，也就不再值錢。如果半人馬數學成為主流，值得慶祝的東西會變，獎的形式也得跟著變。

他倒是描繪了一個讓人振奮的日常圖景。現在他給研究生一篇論文，一週後學生回來承認卡在第一段，因為第一句“非區域性系統的微擾理論”裡每個詞都不認識。Alex 說你該跳過前兩段直接看引理三，倒著讀。未來的學生沒有“我不懂這個詞”這回事：丟給大語言模型，它會定位你的最近發展區，把你已知的一切和下一步需要聽的東西對齊。不只是孩子，像他這樣的老傢伙也能快速學新領域。學數學依然難，但這個工具會讓理解提速。

## 給被時代嚇到的年輕人

節目最後是建議環節，三位嘉賓面對的是一群正在焦慮的研究生、本科生和高中生。

Alex 對純數學博士生的建議出人意料地傳統：照老規矩辦，學你的腦子能承受的最難、最抽象的數學，越多越好。他對本科生的觀察更有意思：成績分佈正在從正態變成雙峰。一類學生用 AI 檢查理解，“教授課上那句話什麼意思？這是我這三週的筆記，來考我”，成績越來越好；另一類學生“作業一小時後截止，直接告訴我答案，我用自己的話抄一遍”，作業成績和考試成績出現脫鉤。他的建議濃縮成一句：做分佈的頭部，別做尾部。

計算器和九九乘法表是 Alex 反覆引用的歷史教訓。計算器問世七十年，我們依然要求孩子背乘法表，因為當年聽信“不用學乘法表”的那批學生，後來吃了大苦頭。機器會做，不代表你該放棄自己會做的能力。孩子第一次學會繫鞋帶時的那種狂喜，就是對掌握技能的天然渴望。

Steven 補了兩條。其一，超級智慧不蘊含超級道德，它給你的是超強的合理化能力，普通人的常識早就知道，話說得再漂亮也未必是對的，教育和智慧是兩回事。其二，無聊是重要的。好奇心和專注力常常從無聊裡長出來，他希望自己能更經常地無聊。

Ankur 的建議最動感情。他注意到很多學術界的人做事靠外部評價，靠別人怎麼看自己，這能撐你起步，但里程碑總會用完，之後必須靠內在理由。他講了自己在 MIT 開學典禮演講前的思考：帕洛阿爾託的咖啡館裡瀰漫著大學申請焦慮，整個社會都在教十七歲的孩子最佳化簡歷。可他記得自己剛上大學時，在小本子上排四年課表，就為了大二能選上光子學，他根本不知道光子學是什麼，只是覺得這詞好玩。他轉述了 Sanjeev Arora 在他入職 MIT 時給的建議：

> 拿終身教職最容易的辦法，是假裝你已經拿到了，然後去做你一直想做的事。（Ankur Moitra 引述 Sanjeev Arora）

Lex 最後補充了兩層。一層是誠實：臺上坐著三個世界級大腦，全是倖存者偏差，聽眾裡很多人正在真實的恐懼裡掙扎。另一層是方法：Max Tegmark 的建議是在體系內做足夠多的正經工作，同時保留一部分離經叛道，就像 Tom Waits 唱的“我喜歡我的湯里加一點毒藥”，一點點怪，有時是很多怪，才造就有趣的人。Steven 的收尾落在最樸素的地方：三十年的人機實驗做到今天，我們大概會發現，自己還是更喜歡和人打交道。科學成就是櫻桃，家人、朋友、身邊的人才蛋糕本身。

- 如果你是數學或理論計算機方向的博士生：照舊去啃最難、最抽象的核心課程，同時把大語言模型當成隨叫隨到的導師，用它定位自己的知識缺口，但別讓它代寫你的思考。
- 選問題時用“防未來”過濾器：如果你判斷下一代模型很快就能解決它，放下它去休假；值得投入的，是幾年後你依然在乎的問題。
- 做分佈的頭部：用 AI 檢查理解、生成測驗、逼問自己，而不是讓它直接給答案。當作業成績和考試成績開始脫鉤，掉隊的永遠是後一種用法。
- 保留無聊的時間。關掉通知，讓好奇心在沒有投餵的環境裡自己發芽，刷不完的資訊流和好奇心用的是同一臺引擎。
- 儘早建立“顧問技能”：面對非專業領域的資訊，練習判斷什麼時候該深挖、什麼時候該反駁，這是 AI 時代的基礎生存能力。
- 假裝你已經拿到了終身教職、已經贏了，然後問自己此刻會做什麼。找到那件重要、有趣、你又擅長的事，三條佔兩條已經幸運，佔全三條能幸福一輩子。