# 喬丹·埃倫伯格：高維形狀與幾何的數學 > 數學家從高維幾何的直覺出發，聊數學思維、證明之美與教育中的解題訓練。 - 原標題：#190 – Jordan Ellenberg: Mathematics of High-Dimensional Shapes and Geometries - 期數：第 190 期 - 釋出日期：2021-06-12 - 嘉賓 / 主題：喬丹·埃倫伯格 - 網頁版：https://lex.qiaomu.ai/tw/ep/jordan-ellenberg/ - 官方頁面：https://lexfridman.com/jordan-ellenberg/ - 精讀字數：約 15270 字（閱讀約 34 分鐘） > 本文為 lex.qiaomu.ai 基於原始訪談的 AI 改寫中文精讀，非官方翻譯；引用請註明出處並連結網頁版。 Jordan Ellenberg 在新書《Shape》裡寫：幾何是數學裡的香菜。 有人因為它徹底開竅，有人因為它整年迷失。喜歡的人說，其他章節我都能湊合，只有幾何那一刻，數學突然講得通了，為什麼不是所有課都這樣？討厭的人跑來跟 Ellenberg 抱怨，代數我能算，X 是個數，我把它揪出來就行，可幾何那一整年到底在幹什麼？ 兩撥人唯一達成共識的是：幾何跟別的數學不一樣。 這個"不一樣"到底是什麼，是這期三個多小時對話裡反覆繞回來的問題。Ellenberg 是威斯康星大學的數學家，也是《How Not To Be Wrong》和《Shape》的作者。他擅長把數學從公式堆裡拽出來，放回人做事的現場。 ## 六歲那年，一個音響木箱讓他看見了乘法交換律 Ellenberg 講自己怎麼愛上數學，場景特別具體。七十年代，家裡的音響外面套著一個深色木箱，箱子上打了孔讓聲音透出來，孔排成六行八列的矩形陣列。 一個六七歲的小孩在客廳裡發呆，盯著這堆孔看。看著看著，焦點一進一出，他突然意識到一件事：這裡有六行、每行八個孔，同時也有八列、每列六個孔。八個六，六個八，是同一批四十八個孔。 他早就背過乘法表，知道六乘八等於八乘六。但知道一個事實，和親眼看見這個事實為什麼成立，是兩回事。那一刻沒有人告訴他，資訊是自己的眼睛直接讀出來的。 他說這跟婆什迦羅（Bhashkara）證明勾股定理的方式是同一件事。婆什迦羅的手稿裡只有一個圖，文字部分據說就寫了一個詞：看吧。把同樣的幾塊拼圖換一種擺法，拼出另一個形狀，兩個形狀面積必然相等，因為它們由同一批零件構成。 Ellenberg 從成年人的視角回看那個木箱時刻，認定那是他一生中非常幾何的一刻。代數事實（兩個數相乘，順序無關）被一塊矩形賦予了視覺上的理由。他後來成為代數幾何學家，某種意義上從那個下午就註定了。 ## 對稱性這個詞，在數學裡被撐得很大 日常語言裡說一個東西對稱，通常指它有對稱軸，左半邊和右半邊長得一樣，或者上下一樣，或者四重對稱。Ellenberg 在大學時迷上的是這套東西的抽象版本，群論。但他說，現代數學裡"對稱"的含義早就溢位了這個範圍。 **任何把一個形狀或空間對映到自身的變換，都可以叫對稱。**他書裡舉了個自己編的例子：把一個圖形縱向拉長一倍、橫向壓縮一半。古典意義上這當然不算對稱，因為它改變了形狀。但這個操作定義得乾乾淨淨，有輸入有輸出，能重複施加，也能求逆。他給它起了個滑稽的名字，叫"擠壓"（scrunch），因為數學裡本來沒有這個詞。你可以研究什麼樣的圖形在擠壓之下保持不變，就像研究什麼樣的圖形在左右翻轉之下保持不變。 再往上抽一層，就是 Ellenberg 認為支配了當代數學一百五十年的那個核心問題：**什麼時候我們認為兩個東西是同一個？** 這聽起來像廢話。一個三角形，和另一個尺寸完全相同但放在別處的三角形，是同一個還是兩個？你說這是兩個東西，一個在這兒一個在那兒。可你要是證明了關於第一個的定理，這個定理對第二個多半也成立。 術語叫全等。換個說法，存在一個叫"平移"的對稱，把一切往左挪三英寸，我們希望所有理論都滿足平移不變性。如果一個定理挪三英寸就失效了，那才叫奇怪。 > 數學是給不同的東西起同一個名字的藝術。（泊松，Ellenberg 引用） ## MNIST 難在哪：我們認識的對稱群不夠用 Ellenberg 把這個話題直接接到了機器學習上。他提到 MNIST 手寫數字資料集，說每次盯著它看都覺得有點上頭：一和二的區別到底是什麼？為什麼所有的手寫二彼此相似？哪些變換算"還是同一個數字"，哪些變換算"變成別的數字了"？ 他說，如果人類識別數字靠的是我們熟悉的那類對稱，問題早就解決了。旋轉是我們理解得極其透徹的一種對稱。假如"1"的所有變體只是某個標準字型裡的 1 旋轉了若干度，寫個程式就能檢測，輕鬆得很。 但實際上不是。我們區分 2 和 3 時用的那套東西，不屬於任何已知的經典對稱群。Ellenberg 說他如果看到有人用某種經典對稱的框架完全刻畫了 2 和 3 的區別，他會非常震驚。他傾向於認為我們做的事情比那更復雜。 Lex 在這裡提了一個他覺得關鍵的點：靜態影象不夠，**變形過程本身攜帶資訊**。他寫過把 2 連續變形成 3 的程式，看影片的時候，你能相當準確地指出哪一幀開始它不再是 2。但如果只給你一張靜止的中間態圖片，你可能會猶豫，甚至叫它 7。 Ellenberg 順著這個往下說，這恰好也是現代幾何的一個洞察：研究物件可以是靜態的形狀，也可以是形狀的變換。泊松研究三體問題時就撞上了這件事。 ## 從兩個球到三個球，問題從課本習題變成了一百五十年的謎 兩個天體在彼此引力下怎麼動，牛頓時代就清楚了：要麼互相繞著畫橢圓，穩定；要麼一個沿雙曲線掠過另一個，不穩定。兩種情況，分類乾淨。 加到三個，整個動物園就開啟了。這就是三體問題。 泊松（Henri Poincaré）在 1880 年代為瑞典國王懸賞的這個題目做出第一次實質進展，並因此成名。他發現的是混沌動力學的最早例子：穩定解和不穩定解糾纏在一起，初始條件的極小改變會讓長期行為完全不同。一百五十年過去，這個問題仍然遠遠沒有被吃透。 Ellenberg 強調泊松做這件事時被迫發明了一樣東西。要描述三個天體的運動，光記錄位置不夠。每個天體有位置（x、y、z 三個座標），還有此刻的速度。真正該盯的東西長這樣：六維相空間裡的一個點，六個座標同時編碼位置和速度，一顆行星的完整狀態就是這麼一個點。 於是泊松需要一套能談論任意維空間的幾何。他開創的學科當時叫 analysis situs，直譯大概是"位置的分析"，這名字顯然沒流行起來，今天叫拓撲學。他那篇論文的開頭幾乎是宣言：今天沒有人懷疑 n 維空間的幾何是實際存在的東西。 Ellenberg 補了一句：泊松從沒離開過物理，但物理把他逼到了高維，他需要一個足夠豐富的形式系統。而一旦你搭起這個系統，它就必然包含非物理的東西。這時候你有兩個選擇。你可以說那些部分是垃圾。也可以採取數學家的態度：這個框架很優雅，很好用，而且裝下了所有物理內容，那也許整個框架都值得研究。後來的事你們都知道了，相對論出現，四維時空成了現實，幾何工具箱早就備好了。 ## 費馬大定理：一個錯誤證明催生了整個現代數論 話題轉到費馬大定理。Ellenberg 先把歷史捋清楚：費馬在丟番圖《算術》的頁邊寫了那句話，說這個方程沒有解，我有一個絕妙的證明，可惜頁邊太窄寫不下。 然後他潑了盆冷水。**從歷史材料看，費馬並沒有這個證明。**很長一段時間人們願意相信有個失傳的神秘證明，故事很浪漫。但費馬後來證明了若干特殊情況，也跟人通訊討論過這個問題，從他處理那些特殊情況的方式看，他很清楚自己搞不定一般情形。也許他某一刻有過一個深刻的直覺，然後丟了，這已經無法考證。可以確定的是，他晚年並不認為自己藏著一個完整證明。 這個問題的失敗史，在數論裡留下了比問題本身更多的東西。十九世紀有個叫拉梅（Lamé）的人宣佈證明了，證明是錯的。庫默爾（Kummer）去搞清楚拉梅錯在哪，結果撞開了一扇大門。 我們習慣的那個事實是：每個整數都能唯一分解成素數的乘積。12 就是兩個 2 一個 3，沒有別的拆法，你沒法讓 12 裡冒出個 5，也沒法讓它包含四個 3。這個唯一性太基本了，基本到我們把它當成上帝定的規矩。 庫默爾發現，**如果你在比整數稍微一般一點的數系裡工作（而這些數系恰好跟費馬問題相關），唯一分解就不成立了。** Ellenberg 在這裡表達了一個很數學家的立場。你剛誇完唯一分解多美多簡潔，我告訴你一般數系裡它塌了，你可能會說這真糟糕。他說不，這很好，因為一整個新世界現象冒出來了，你用原來那副眼鏡永遠看不到。 > 我高度支援複雜化，因為每一次複雜化都是研究新東西的機會。（Jordan Ellenberg） ## 形變理論：把"挪一點點"這件事變成一門學問 懷爾斯（Andrew Wiles）和理查德·泰勒（Richard Taylor）最終解決問題的核心工具之一叫形變理論（deformation theory），部分由 Ellenberg 的博士導師 Barry Mazur 創立。 Ellenberg 解釋得很剋制：費馬問題裡出現的那些物件（他提到伽羅瓦表示和模形式，但說這些詞對聽眾沒什麼用）可以被"形變"，也就是挪動一點點。形變理論的想法是，如果你非常清楚一個東西能在哪些方向上做無窮小的移動，你也許能把這些區域性資訊拼起來，理解它能在其中移動的整個全域性空間。懷爾斯他們的論證歸結起來，是證明兩個這樣的全域性空間其實是同一個，這就是傳說中證明裡那個"R 等於 T"。 但這套"挪一點點"跟我們在微積分裡學的距離概念不是一回事。這裡就要說到 Ellenberg 書裡反覆出現的一個主題：**距離這個概念不是上帝給的。** 日常英語裡我們一直在用各種距離。說某人是近親，指的可不是他住隔壁，那是另一套度量。做自然語言處理時，詞與詞之間有語義距離、搭配距離，兩個詞是不是經常出現在相似上下文裡，這跟它們在字典裡隔多少頁毫無關係。 數論裡有一種更離譜的距離，叫 2-adic 距離。普通人說兩個數接近，是指差很小，7 和 8 差 1，很近。2-adic 數論學家說，兩個數接近，是指它們的差是 2 的某個大次冪的倍數。於是 1 和 49 很近，因為差是 48，是 16 的倍數，16 是挺大的 2 的冪。而 1 和 2 很遠，差是 1，連 2 的一次冪都不是。 更怪的是 1 和 1/64，差是 2 的負六次方，在這個度量裡它們是天文數字般的距離。 Lex 的腦子在這裡卡住了，然後他自己找到了鑰匙：這幾乎就是把二進位制數倒著寫。普通二進位制展開裡，一個數很小，意味著小數點後一長串零。在 2-adic 度量裡，一個數很小，意味著它末尾有一長串零，然後才是小數點。Ellenberg 說這個比喻非常好，他早該這麼講。 為什麼這種怪東西有用？因為懷爾斯證明裡用到的形變，正是在這個 2-adic 意義上"挪一點點"。換一套距離，你就能談那些在通常意義下根本不算"附近"的變化，然後從區域性推出整體。 Ellenberg 順手把這個思路推廣到了數學之外：如果你給人類社會定義一種距離，兩個人很近當且僅當他們彼此相愛，然後在這個度量下分析七十億人，也許能看出關於暴力、關於創業、關於制度的一些東西。經濟學某種程度上就在幹這事，但值得把"換一種距離函式"當成一種自覺的方法。 ## 素數：假裝它們是隨機撒的土 談到素數時，Ellenberg 從定義開始較真。素數不能分解，但你說 5 等於 5 乘 1，這也是一種分解。他說這不算，因為這件事對任何數都能做，沒有內容。真正有內容的是把 12 拆成 6 乘 2 再去拆，一路拆到拆不動，剩下的那堆東西就是素數。**它們是構成所有整數的原子。** 關於 1 是不是素數，他專門說明：歷史上不同時期有不同看法，現在不算，這是定義的選擇，談不上發現了什麼真理。數學定義是我們為了某種目的挑的工具，無所謂哪個定義"真的對"。 然後是一段很好玩的現場演示。他講費馬小定理構成的一種素性測試：取一個神秘數字 n，算 2 的 n 次方，除以 n，看餘數。如果 n 是素數，餘數一定是 2。6 不行，2 的 6 次方是 64，除以 6 餘 4。5 行，32 除以 5 餘 2。7 行，128 除以 7 餘 2。 麻煩的地方在於，這個測試只有一個方向可靠：餘數不是 2，那 n 肯定不是素數；餘數是 2，n 很可能但不確定是素數。存在一批"偽素數"，最小的一個是 341，它透過了測試但不是素數。 接著是素數分佈。素數有無窮多個，歐幾里得就證明了。但隨著數字變大，素數越來越稀疏，頭十個數里有四個素數，佔 40%，十位數里絕不可能有 40% 是素數，因為能被整除的機會多了太多。 孿生素數猜想問的是：差為 2 的素數對（3 和 5，11 和 13，17 和 19）有沒有無窮多對？ Ellenberg 在這裡糾正了一個很常見的理解偏差。人們聽到孿生素數猜想，會以為數學家相信素數之間藏著某種深刻結構，讓它們一次又一次靠近。**恰恰相反。**相信孿生素數猜想，等於相信素數分佈得相當隨機。如果它們真的像隨機撒的土，那按機率算，就該有無窮多對孿生素數。 > 我們說相信孿生素數猜想，是說我們相信素數像隨機撒的一樣散著。要是真那樣，純靠運氣你就該期望有無窮多對孿生素數。我們是在說，我們預期它們的行為就跟隨機撒的土一樣。（Jordan Ellenberg） 素性是完全確定的，沒有任何隨機性介入。但把素數當成從某個隨機過程裡產生的樣本來研究，效果驚人地好。Ellenberg 說這在數學裡是常規操作：即使面對確定性的規律，也先假裝它不確定，看看行為是否大致吻合，不吻合就微調隨機模型，直到匹配為止。 這個做法的目的不在證明，它服務於一個更前置的任務：先搞清楚該相信什麼。因為最糟的情況是你拼命去證明一個假命題。 Ellenberg 在這裡虛擬了一場和 Sam Harris 式決定論者的對話：你說素數不是隨機過程，它們是完全確定的。我說好，你堅持你的，與此同時我在從"假裝它們隨機"裡源源不斷地挖出洞察，而你挖不出來。所以現實是什麼並不重要，重要的是哪個思考框架能產出最多洞察。 他順勢把這條原則用回到人身上：把別人當成有慾望、有意圖、會故意做事的行動者，即使這個描述在哲學上不成立，你依然會更好地理解發生了什麼。 ## 康威：把數學做成了遊戲，也把遊戲做成了數學 Ellenberg 對約翰·康威（John Conway）的評價是：二十世紀數學家裡少有的那種性格與工作完全纏繞在一起的人。外面的人常以為數學是冷的，跟做數學的人的人生無關。不是。你的性格就在裡面，跟你寫的小說、畫的畫、走路的姿勢一樣。 康威把一切都當成遊戲。他不停地發明遊戲、發明古怪的名字，然後把遊戲拿來做數學分析，分析到跟 Knuth 合作搞出一套數系，超實數（surreal numbers），其中每個數本身就是一個兩人博弈。牛頓時代被人嘲笑為"消失量的鬼魂"的無窮小，在這套系統裡堂堂正正地住下來了，作為某種博弈。 他最有名的創造是生命遊戲（Game of Life）。嚴格說這裡沒有對手，你面對的只是一條寫在方格紙上的規則：每個格子看周圍八個鄰居，活著的格子鄰居太少或太多就死，死了的格子鄰居數量合適就出生。規則一句話寫得完。七十年代他真的是拿筆在方格紙上推演。 從一小片塗黑的格子出發，可以長出豐富到不可思議的結構：滑翔機（glider）會跑，滑翔機槍（glider gun）會不停吐出滑翔機。你甚至可以用生物學的語言描述這些"物種"之間的互動。 Ellenberg 強調了一件常被忽略的事：**隨便挑一條規則，什麼都不會發生。**絕大多數規則集產生不了任何有趣行為。只有少數被調到恰當位置的規則，才會湧現出複雜結構，而我們並不清楚怎麼預先分辨哪些規則行、哪些不行。 Wolfram 在這條路上走得最遠，也因此在學界邊緣待著。Ellenberg 說把自我放一邊看，他的工作相當精彩，那種達爾文式的探索，把簡單規則鋪開玩上千頁，本身就是有價值的。他的 rule 30 挑戰很簡單也很難：能不能預測中間那一列？沒人做出來。Wolfram 管這叫"不可約性"，但 Ellenberg 的評價是，這是詩，不是定理。 康威本人對生命遊戲的態度是矛盾的。他當然知道這是自己在圈外最出名的東西，但他也清楚自己做過遠比這深刻的數學，被簡化成一個"生命遊戲那個人"，多少讓他不舒服。 ## 龐加萊猜想：真正的幾何是"所有幾何構成的空間"的幾何 龐加萊猜想問的是三維空間的分類。Ellenberg 用馬克杯做道具解釋：杯子表面畫一個圈，你可以把它收縮成一個點。但要是圈套在杯把上，你怎麼挪都收不緊，除非把杯子弄破。**"單連通"指的就是任何圈都能收成一個點。**龐加萊猜想說，一個三維空間如果滿足單連通，它就是標準的三維空間。 證明的關鍵動作是往上跳一層：你要理解的是所有三維幾何構成的那個空間，那個具體的三維空間本身反而退到了第二位。在這個更高層的空間裡，你可以讓某個未知空間沿裡奇流（Ricci flow）運動，看它流向哪裡。奇怪的是，它總會流到標準三維空間去。既然從一個神秘空間出發能連續變形到標準空間，中間沒有任何突變，那它一開始就跟標準空間是同一個。 技術上最難的一塊，是證明這個流動過程中不會出現奇點，也就是不會突然長出尖角、喪失光滑性。這活兒是佩雷爾曼（Grigori Perelman）幹成的，而且不是孤軍奮戰，前面有理查德·漢密爾頓等人鋪了幾十年的路。Ellenberg 特意強調這一點，懷爾斯的證明也一樣：從十九世紀的庫默爾，到弗雷、Mazur、裡貝特，很多人在砌拱門的石塊，最後才有人放上拱心石。 佩雷爾曼拒領菲爾茲獎。Ellenberg 的看法是：從某種宏大的精神意義上說，獎項不重要，理解宇宙才重要。但另一方面，大多數被授予這個獎的人都接受了，所以他的選擇確實不尋常。這件事的提醒是，人的一生中大概會有那麼一兩次，社會希望你做的事和你相信的東西衝突，你得站住。這就是正直。它不需要讓旁人理解。 ## 吸管有幾個洞：一場數學家也會吵起來的爭論 Ellenberg 在書裡拿這個問題開刀。你隨便問一屋子人，喜劇效果立刻出現：每個人都覺得答案明擺著，然後發現別人給出的明顯答案跟自己不一樣，接著就吵起來了，還吵得挺兇。 零派很罕見：他們說你拿一塊長方形塑膠片把兩邊粘起來就是吸管，長方形塑膠片上沒有洞，我也沒在上面戳洞，哪來的洞。Ellenberg 說這個立場你得一貫到底：那你也得說貝果沒有洞，因為貝果是把一根長條麵糰兩頭捏在一起做的。你要真這麼說，那我不知道你是個什麼樣的人。 一派說一個洞：洞是一個區域，它貫穿整個吸管，就一個。兩派說兩個洞：上面一個口，下面一個口。兩派還喜歡拿水瓶做現場演示，擰開蓋子說這裡面有一個洞，現在我在這兒戳個洞讓水漏出來，這不就變成吸管了？於是一派會問：原來有一個洞，我又戳了一個新的，你現在還認為只有一個洞？ 一派會反問：那你告訴我，第一個洞在哪兒結束，第二個洞又從哪兒開始？ Ellenberg 說，遇到讓人糊塗的問題，數學有兩個動作。**一個是把問題變簡單**，比如降到低維，先想圓和線段。**另一個是把問題變難**，把複雜情況攤開來講，比如不聊吸管了，聊褲子。 大多數人會說褲子有三個洞：腰一個，兩條腿各一個。但他女兒說，褲子只有兩個洞，因為腰不過是兩條腿的洞粘在一起。 這個孩子的答案恰好抓住了同調論（homology）的核心：**洞是有算術的，可以相加。**腰洞等於左腿洞加右腿洞，等式兩邊都不是數字，是某種幾何物件，這大概就是拓撲學最讓人撓頭的地方。 用吸管演示這個"加法"：你吸一口奶昔，從頭進多少，從另一頭就出多少。兩個口彼此牽連，各自的流量不能單獨變動。褲子的版本是：左腿流進去的量加上右腿流進去的量，等於從腰流出來的量。 所以現代數學家的說法是：有兩個洞，但一個是另一個的負號。Ellenberg 把這個想法歸功於 Emmy Noether，是她把這個學科放到了現代基礎上。在此之前，泊松和貝蒂（Betti）已經在往這個方向走，但真正讓"洞之間的關係"變成一門可以計算的學問，是 Noether 的手筆。 ## 數學怎麼學：讓問題帶你進去，而不是讓課程表帶你進去 Lex 問怎麼學數學，尤其是成年後想重新撿起來的人。Ellenberg 說他答不出唯一答案，因為這件事本質上是自我認知的旅程，得知道什麼對你有用，而這因人而異。 有人就是能抱著教科書啃，這確實是一種可行路徑，對一部分人有效，對另一部分人無效。對另一部分人，入口是 Martin Gardner 在《科學美國人》上寫了幾十年的專欄"數學遊戲"，那種純粹的玩心，集結成書之後雖然年頭久了，但每一代新讀者翻到都還是新鮮的。還有人適合做競賽題，俄國和保加利亞的題集出了一本又一本。還有人適合看製作精良的影片。 然後他講了一個自己在研究生院的故事。他有段時間被自己的無知壓得喘不過氣，跟系裡的代數幾何教授 Joe Harris 說，我想休學一年，把 EGA（《代數幾何原理》，一千五百多頁的多卷本聖經）從頭讀到尾。 Harris 說這主意很蠢。 為什麼蠢？因為你不會真的去讀。你會因為手上有個問題要解決，需要 EGA 裡的某條結論，才去學那一條。沒有真問題牽著，你學不進去。 Ellenberg 把這條經驗推廣開來：數學很難，任何做對的事都難。正因為難，別人告訴你"你該學 XYZ"，如果你其實不在乎，你就學不會。你得把它掛到一件你真正在乎的事情上。可能是一個工程問題，一個物理問題，一個機器學習問題。**讓問題驅動你的學習，課程表驅動不了任何人。** Lex 補了一段關於"難"的看法。他說自己討厭跑步，討厭運動，跑步時唯一享受的是跑完之後那一整天的感覺。做數學的體驗幾乎一樣：一堆概念在腦子裡懸著，記號含混，圖畫缺了好幾塊，你得扛住那種"明顯沒搞懂但還得往前推"的挫敗感。而記住那種"難了很久，然後在某一刻，整張圖完整了"的美感，是支撐人反覆回來的東西。 Ellenberg 對"享受"這個詞做了修正：他不覺得需要享受死衚衕，死衚衕很氣人。人得接受它是過程的一部分。 Lex 在這裡丟擲了 David Goggins 的那套心態：大多數人到這兒就放棄了，如果我不放棄，就有機會看到別人沒看到的東西。Ellenberg 的反擊很乾脆：那按這個邏輯，每年內森熱狗大賽的冠軍吃到第 35 個熱狗時也完全可以這麼說，大多數人到這兒就停了。兩人就此達成一致，這個問題沒有標準答案。 ## 給年輕人的建議：做那個高自尊的選擇 Ellenberg 有兩個孩子，所以這不是思想實驗。他說他常跟學生講，人走到岔路口時總被自我懷疑纏住，不確定自己能幹什麼，不確定真想幹什麼。 他的建議是：**把自我懷疑那個變數抽掉，想象一個完全自信版本的你會怎麼選，然後照著做，看看會發生什麼。** 他特意加了限定：這不是說你該消滅懷疑，人大概應該有懷疑。但有時候，按照那個沒有懷疑的人的方式去行動，是對的。 Ellenberg 說這話時提了一句，他其實還沒跟自己孩子講過。Lex 說那應該講，這是個非常有用的辦法。 關於"人生的意義能不能用數學找到"，Ellenberg 的回答挺乾脆。他提到帕斯卡，這位數學天才同時也是極認真的宗教神秘主義者。人們以為帕斯卡的賭注是用數學論證你該信神，但他真讀帕斯卡的原文，發現幾乎相反。你要是問帕斯卡為什麼信，他會說我遇見了神，他有過一次強烈的神秘體驗，那就夠了，跟數學論證無關。數學論證說的是行為層面的理由：你無論如何都要下注，那就押一個期望值更高的。 > 你已經有數學了，有探索心智的方式，有了不起的技術，還有愛和友誼。你還想知道這一切的意義是什麼？享受它吧。（Jordan Ellenberg） 他書裡還有另一位數學家的說法值得一提。Hilda Hudson 參與了今天用來追蹤傳染病的 SIR 模型的前身工作，同時是極其虔誠的教徒。她說數學的真理不是上帝思想裡最重要的那些，但它是唯一我們能精確知道的那部分。而泊松的態度更冷一點：就算有個神明把宇宙的真相用神的語言講給我們聽，我們也理解不了，所以那不重要。我們的任務是搞清楚那些我們搞得清楚的部分。 Erdős 提供了第三種版本。他管那本收錄了每個定理最漂亮證明的書叫"天書"（The Book），看到特別優雅的證法就說這出自天書。他本人不信教，還管上帝叫"最高法西斯"，但天書他一直掛在嘴邊。這位一輩子在幾個行李箱之間輾轉、跟幾百個合作者聯名發論文的人，最終把自己的社交網路變成了一個度量衡，Erdős 數至今還在數學家之間流傳。衡量兩個人遠近的，是合作鏈條的長短，這跟地理毫無關係，正好回到前面那個"換一把尺子"的話題。 ## 為什麼"簡單"這個執念值得警惕 Lex 提到費曼那句流傳很廣的話：如果你不能把一件事簡單地講清楚，說明你沒真懂。Ellenberg 的反應直接：假的。然後他補一句，但要問它有沒有深刻之處，那當然有。 真實的東西不簡單，少數簡單，大部分不簡單。學著一遍遍解釋，會幫你理解，這部分是真的。至於費曼有沒有真說過這話，本身就有爭議，而且 Ellenberg 懷疑費曼那樣的人不會真的字面相信它，他喜歡說漂亮話，他享受說這話的感覺。 Lex 補充了一個觀察：他見過不少物理學家從"相信世界可以被簡單解釋"裡獲得巨大快樂，即使他們的解釋其實並不簡單。那些解釋更像是一首關於複雜事物的詩，而不是濃縮。Ellenberg 接了一句：詩不是解釋，沒有詩人會說自己寫的是解釋，他們說的是描述，是捕捉。 不過他還是承認，簡潔有一種近乎審美的吸引力，而這種吸引力有時會帶來麻煩。人類歷史上那些以仇恨和暴力為核心的時期，背後常常也有一套極簡的敘事在驅動。簡潔令人愉快，恰如幸福令人愉快，但它本身不構成判斷真假的理由。 回到數學內部。Ellenberg 說，我們還沒學會怎麼在學術數學裡恰當地評價"視覺化"這件事的價值，也沒學會怎麼評價"構建計算基礎設施"這件事的價值。今天所有人都有計算機當夥伴，有人造出幫助數學研究的系統，那也是數學，只是不是傳統意義上寫論文證定理的那種形式。他提到布朗大學的計算與實驗數學研究所，那是 NSF 資助的正規數學機構，他們專門辦過一個主題學期討論數學視覺化，按前沿研究課題的規格來對待。數學界確實在認這件事，只是速度慢。 他還提到 3Blue1Brown 的 Grant Sanderson，用 Python 程式設計做視覺化。你必須真正理解一個主題，才能把它畫成那樣，還得用一種很新穎的方式去想它。整個數學 YouTube 生態的意義在於覆蓋了不同的傳播頻寬：博士導師一對一帶一個學生三五年，頻寬最高，人數最少；課堂幾十上百人，一個學期；書能觸達更多人，讀者投入幾小時；影片觸達的人比任何精裝書都多。每個位置都重要，因為每個人的腦子掛東西的鉤子長得都不一樣。 Lex 在這裡插了一句自己的抱怨：他偶爾逛進拓撲學的領地，感覺那裡數學太密了，密到有點妨礙理解。他說波恩纖維化（Hopf fibration）那類東西，二十年前某個研究生拿 Fortran 寫個程式畫出來，然後就再沒人碰過。拓撲學明明是視覺性的學科，視覺資源卻少得可憐。Ellenberg 給了個不算客氣的回擊：一張波恩纖維化的圖對他什麼用都沒有，但有人告訴他這其實是四元數的一個子群，他立刻就說懂了。你早說這個啊，為什麼給我看那張沒用的圖。 兩人在這裡達成了一項共識，而且它比聽起來重要：解釋沒有唯一正確的方式。人腦上的鉤子和環長得千奇百怪，你不知道什麼東西會掛住，而掛住的東西對不同人不一樣。單一文化是有害的。但也正因為如此，把一群彼此不理解的聰明人摁在一起，逼他們找一箇中間地帶，常常能撞出新東西。寫書這件事本身就會逼出新的想法，因為壓縮的過程會重新組織你原本以為自己已經想清楚的東西。 Ellenberg 用詩和散文做了個類比：你為什麼需要詩？你想傳遞資訊，說清楚不就行了。但詩確實做了點別的事，抒情詩往往把一件用散文講要很久很複雜的事情壓縮排另一種模式，用不一樣的方式擊中你。 ## 菲爾茲獎、AI 和那些被機器吃掉的工作 Lex 問：會不會有一天，一個 AI 拿到菲爾茲獎？ Ellenberg 說不會。 Lex 追問為什麼。 Ellenberg 說，這大概就是人類給自己設的驗證碼吧，用來證明我是個人。 他真正的回答更長：計算機早就吃掉了大量我們以前叫"數學研究"的工作。1890 年，一篇博士論文可以是在某個有限群作用下算出某個多項式環的全部不變數，一個人算一年，這是有價值的知識。今天你寫幾行 Macaulay、Sage、Magma 的程式碼就出來了，那件事我們已經不叫數學了。同一件事，換了工具，就換了身份。這些軟體是符號計算系統，跟 Maple 和 Mathematica 同類，只是更專門。它們不做證明，也不算真的在做數學思考，但它們現在是大多數數學家工作流程的一部分。 至於讓 AI 證有意思的定理，目前成績不佳。他提到一篇用神經網路找反例的論文，效果不錯，但那些被推翻的猜想都不是什麼著名猜想。你要是讓五個研究生認真想想那些問題，多半也能想到那個反例。不過那仍然很酷。 還有 Conway 結的故事。一個結是不是"可切片的"（slice），這跟它能圍出什麼樣的三維曲面、在四維裡怎麼延拓有關，技術細節不重要，重點是這個問題很難算。Conway 結這個特例卡了拓撲學界二十年。2018 年前後，當時在德州大學奧斯汀分校讀博的 Lisa Piccirillo 解決了它，論文九頁，其中兩頁是圖。Ellenberg 是在準備講這個故事時才發現裡面有個奧斯汀的緣分，他自己也沒想到。Piccirillo 現在在 MIT，某種意義上是在跟著 Lex 走。Lex 說反了，是他跟著她走。 這篇論文讓人不得不重新想什麼叫"難"。一個問題是難，因為解法複雜？還是因為全世界頂尖專家搞了二十年都沒搞出來？還是說我們需要一個新的類別，專門描述"很難發現它其實不難"這類問題？ ## 群論、規範場和那個"太快了"的建議 Ellenberg 用一種很樸素的方式介紹群論。人基本是左右對稱的，兩個對稱：翻轉，和不翻轉。等等，你說只有一個？做和不做，這是兩種狀態，所以是兩個。矩形更多，不但能左右翻，還能上下翻，於是四個：不翻、左右翻、上下翻、兩個都做。正方形又多出一批，因為你可以轉九十度，而矩形轉九十度就變樣了，那不算對稱。人兩個，矩形四個，正方形八個。真正讓這套東西成為一門學問的觀察是：這些變換可以複合，你先做一個再做一個，結果是第三個，整批變換在這個運算下自成一個封閉的世界，這就是群。 無限群也很好懂。看一條直線，你可以沿任意一點左右翻轉，也可以整體平移任意距離，這兩種操作無限多，而且能複合，所以直線的對稱群是無限的。洗牌同樣如此：一副牌的所有排列構成一個群，你洗一次我再洗牌同樣如此：一副牌的所有排列構成一個群，你洗一次我再洗一次，結果是另一種排列，也在這個群裡。 Lex 順勢問規範對稱（gauge symmetry）是什麼，這在物理學裡被反覆提起，卻很少有人講清楚。Ellenberg 坦白自己不是數學物理學家，但給了一個他認為合理的輪廓：物理學一直在問"世界的對稱群到底是什麼"。 如果重力在這裡是這樣，在別處也該是那樣，那麼平移就該是物理定律的一個對稱。從愛因斯坦之前到愛因斯坦之後的那次大轉彎，某種意義上是我們更換了對"世界的對稱群到底是什麼"的判斷。洛倫茲收縮這類現象，在舊框架下看起來是物體接近光速時形狀變了，在新框架下，你會發現它從沒變過形狀，你只是搞錯了什麼叫對稱。換上洛倫茲群之後，所謂變形就消失了，它成了一場幻覺。 Lex 對這個回答仍不滿意，他說自己一直在做一件不太系統的事：為每個複雜概念找一個最小的、可程式設計的、能親手玩的例子。Ellenberg 說這正是最好的教學法，他們就是這麼訓練學生的。 這也解釋了為什麼泊松這種人在數學史上如此重要。他從三體問題出發，被逼到高維幾何，然後那套幾何在幾十年後成了相對論的現成語言。工具先於用途誕生，這在數學裡是常態。 ## 平地：把二維生物拽出它的世界 Lex 問了一個他自己也沒把握的設想：如果你住在一個球面內部，往任何一個方向看，是不是都會看到自己的後腦勺？ Ellenberg 說，這個設想裡"看見"這個詞承擔了太多沒說清楚的東西，光的物理規律在這個場景裡怎麼工作，他一時也拿不準。但他很確定這類想象本身有多重要，因為它一遍遍回到思想史上。 他提到 Edwin Abbott 的《平地》（Flatland）。十九世紀一位牧師寫的漫畫式小說，主角是個正方形，一個二維世界的居民。某天他在家裡，眼前憑空出現一個小圓，然後越變越大，很恐怖。那是球體正在穿過他的世界，截面在擴張。等球體穿到正中間，兩人開始爭論。球體說我來自三維，正方形說你在胡說，沒有那種東西。兩人用幾何推理來回拉鋸，正方形跟不上，直到球體一把把他揪出平面。你在上面看一眼，就明白你的整個世界了。 Ellenberg 說，Abbott 是牧師，這本書有明確的宗教潛臺詞：如果一個更高的存在能把你從這個塵世裡拎出來，讓你從上往下看見真相，那意味著什麼。有意思的是這層寓言最後走向了相當顛覆的方向。正方形被拎出來、學會了推理之後非常興奮，說既然你能讓我理解三維立方體，那我也可以靠推理想清楚四維的我是什麼樣吧。球體怒了：哪來的第四維，就三維，我能看見。 Lex 把這個寓言接到了正題上：數學能做人類視覺做不到的事。我們沒法在腦子裡成像一個四維立方體，但我們完全可以算出六維立方體有多少個頂點。這件事本身就是人類認知裡非常了不起的一部分，視覺化和可推理是兩條腿。 Ellenberg 說，宇宙有沒有超出我們感知的額外維度？很可能有。但你沒法直接驗證，你只能去推那些額外維度會在這個可感知的世界裡留下什麼痕跡。如果痕跡為零，這個問題就開始變得空洞，因為你也可以隨便假設任意多的實體，反正都沒影響。 他還提到拓撲學一個非常迷人的性質：它討論的是內稟屬性，你不需要從世界外面看世界。馬克杯上那個問題，一個從未離開杯麵的生物也能回答。他降到一維做示範：你住在一個圓上，往一個方向走足夠久會回到出發點；你住線上段上，走足夠久會撞到世界的盡頭。這個區別你不需要跳出你的世界就能知道。而如果你住在一個漂浮於三維空間的結上，對你而言它就是一條圓。我們這些有三維眼睛的旁觀者才看得出這個圈打了個結，這件事關乎它如何嵌入外部空間，跟它自己的內稟性質無關。 Lex 承認自己對"我到底住在圓上還是住在結上"這類問題毫無不安，睡得著覺。Ellenberg 說他也是這樣。然後是那個著名的莫比烏斯帶問題：你怎麼知道自己住在一個圓柱面上還是莫比烏斯帶上？Lex 說，你跟朋友說好站這兒別動，我走一圈就回來，然後你走回來，發現朋友被映象了。Ellenberg 笑著指出這個方案的實際困難：你朋友已經被翻成映象了，你還能認出那是你朋友嗎？你連自己會不會被翻過來都不確定。 他說真正可行的辦法，是找一個繞兩圈才能收縮的圈。莫比烏斯帶和實射影平面（一個更擰巴的近親）上有這種構造，你把一根繩子沿某個方向繞一圈，怎麼都拉不緊，但沿同一條路徑再繞一圈，就能收成一個點。這是你在自己世界裡就能察覺的怪事。 Lex 繞了一大圈之後回到正題：既然球體的困境是它看不見第四維，那我們會不會也活在某個更高等存在的"平地"裡？物理學家搞統一場論時動不動就往十維十一維上跑，那到底只是好用的記賬方式，還是宇宙真有我們感知不到的維度？ Ellenberg 的回答很剋制：很可能有，但你只能透過它在這個世界裡留下的可觀測後果來判斷。如果什麼後果都沒有，這個問題就失去了落腳點。你可以隨便假設多少個實體，只要它們不產生任何可觀測差別，那這些假設就是空的。 ## 可操作的部分 - 下次遇到"這明顯是 X"的判斷，先問一句：在什麼變換下它還是 X？把判定標準寫下來，你會發現大部分時候你說不清，而說不清的地方正是問題所在。 - 想重學數學，不從教材第一章開始。先找一個你手上真在乎的問題，讓這個問題把你拽進需要的章節。Ellenberg 的導師原話是：不帶著問題，你不會真的讀下去。 - 給孩子或給外行講數學，用"吸管有幾個洞""褲子有幾個洞"這類問題開場。零成本，會吵起來，而吵架的過程中對方會自己想通同調的第一步：洞可以相加。 - 做重大決定時，把自我懷疑當噪聲處理。寫出一個完全自信的你會選什麼，然後照著做。做完了再看結果。 - 看到別人用"把 X 當成 Y"來研究 Z，別急著說這不真實。素數不是隨機的，但當成隨機來研究產出最多洞察。一個描述是否"真"，很多時候不如它是否好用重要。 - 如果你在學一樣被公認為"很直觀"的東西卻完全無感，先別下結論說自己不行。Ellenberg 說幾何是數學裡的香菜，有人一口就上癮，有人整年嘗不出味道，而他自己明明屬於後者。九年級那門歐幾里得幾何課，證明等腰三角形底角相等之類的練習，跟他不來電。真正擊中他的是六歲那年客廳裡一個音響木箱。入口不止一個，換一個再試，這句話對孩子和對成年人都成立。 - 想親身感受一次維度躍遷的眩暈，讀 Edwin Abbott 的《平地》。故事很短，一晚上能讀完，最鋒利的一刀在結尾：正方形學會了推廣，追問他自己的四維版本，球體勃然大怒。你可以在那一刻停下來，想想自己有多少次扮演了那個球體。 - 想在手機上親眼看看複雜結構怎麼從一行規則裡長出來，裝一個 Golly。康威生命遊戲的規則一句話寫得完，從一小片塗黑的格子能長出滑翔機，能長出不停吐出滑翔機的槍。順便驗證 Ellenberg 提到的那件反直覺的事：隨手挑一條規則，什麼都不會發生。絕大多數規則集是死的，能湧現複雜行為的是極少數，而我們至今不知道怎麼預先分辨哪些行、哪些不行。Wolfram 的 rule 30 挑戰至今沒人做出來，他那套"不可約性"的說法，Ellenberg 的評價是：這是詩，不是定理。 - 別把數學競賽當成數學的門票，也別因為競賽而誤解數學。Ellenberg 1987 年第一次參加國際數學奧林匹克，那年在哈瓦那辦，美國人當時去不了古巴，手續極其麻煩，主辦方還把整支美國隊拉去"美國帝國主義博物館"參觀了一圈。他管這叫冷戰的一部分。奧賽的題目都有已知答案，比的是速度；研究面對的是沒人知道答案的問題，比的是別的肌肉。他還順帶澄清了一個流傳很廣的誤會：奧賽金牌發給前十二分之一的選手，一年幾十塊，跟奧運會上每個專案只發一塊金牌完全不是一回事。他提到格羅滕迪克有一次講課時需要舉一個素數做例子，隨口說了 57，而 57 是三乘十九，這件事在某些圈子裡至今還是個笑話。 - 給自己準備一套"換距離函式"的思維動作。遇到一個怎麼看都看不透的局面，先別急著分析，問一句：我預設的那個衡量遠近的標準，換一個會不會讓問題變形？地理距離之外有語義距離，有親疏距離，有利益一致性的距離。素數在 2-adic 距離下，1 和 49 是近鄰，1 和 2 是老死不相往來。同一批物件，換一把尺子，藏著的關係就浮出來了。 - 最後一條，關於什麼時候該停下來。Ellenberg 的導師攔住了那個想休學一年讀完一千五百頁 EGA 的年輕人，理由不是書不好，是你不會真的讀。凡是難的事，熱情都得掛在具體的問題上。如果你現在的學習計劃裡全是"我應該懂"，沒有一句"我想知道"，那就先停，去找那個你真的想知道的問題。找不到就先不學，這也是一種誠實的判斷。