# 喬·博勒：如何學數學 > 數學教育研究者反對死記硬背與天賦論，介紹如何透過多樣化解題和出錯來真正理解數學。 - 原標題：#226 – Jo Boaler: How to Learn Math - 期數：第 226 期 - 釋出日期：2021-09-27 - 嘉賓 / 主題：喬·博勒：數學學習法 - 網頁版：https://lex.qiaomu.ai/tw/ep/jo-boaler/ - 官方頁面：https://lexfridman.com/jo-boaler/ - 精讀字數：約 13055 字（閱讀約 29 分鐘） > 本文為 lex.qiaomu.ai 基於原始訪談的 AI 改寫中文精讀，非官方翻譯；引用請註明出處並連結網頁版。 一組研究者在高中英語課堂上做了個實驗。所有學生都交了一篇作文，老師給每人寫了診斷性反饋。一半學生的評語末尾，研究者偷偷多加了一句話。一年之後，讀到這句話的學生，英語成績顯著高於另一半。 那句話是：**“我給你這個反饋，因為我相信你。”** 喬·博勒（Jo Boaler）常在教師培訓上講這個實驗。她是斯坦福教育學院的數學教育教授，YouCubed 的聯合創始人。講完之後她會趕緊補一句：我不是建議你把這句話刻成章，蓋在每個孩子的作業本底下。 但接著她講了自己的故事。高中一年級，新來的數學老師第一節課上說，有問題隨時問。她舉手了。老師回了一句：“這就是你的問題？”她記得自己坐在哪，記得當時的光線。她說那絕對是她在那門課上問的最後一個問題。那位老師是數學教研組長。 一句隨口的反問，和一句“我相信你”，在同一個行業裡，都能管用很多年。 ## 任何一塊乾巴巴的數學，都能變成視覺問題 博勒對數學之美的定義，跟大多數人不太一樣。她喜歡的恰恰是很多人不承認那是數學的那部分：可以換個角度看、可以畫出來、可以有好幾種解法的數學。 “很多人以為數學就是一個方法、一個答案。”她在訪談裡說。她做的工作正相反，她和團隊對老師講：把你手上最枯燥最沒勁的那塊內容拿過來，我們把它變成一個視覺的、有意思的、開放的問題。結果發現，任何一塊內容都能這麼幹。 她說這話時是認真的。她提到神經科學的一個發現：人在處理數學問題時，大腦裡有五條不同的通路。世界上數學成就最高的那批人，特徵體現在通路之間的連線數量上，單條通路發達與否反而說明不了什麼。 這意味著什麼？一個孩子用數字看一道題，是一條路；用圖形看同一道題，第二條路就接上了；用文字把思路寫下來，第三條；用積木或者紙筆搭出來，第四條。她管這個叫“數學的多維度體驗”。連線越多的腦子，越是這麼長出來的。 順帶說一個流行說法的坑。學校裡常講“你是視覺型學習者，他不是”，然後給前者配圖，給後者講公式。博勒說這套說法在神經科學上站不住：**如果你認為自己不是視覺型學習者，你反而更需要視覺化的方法**，因為那塊腦區正等著被開發。 物理學家在這件事上早就走在前頭。愛因斯坦想問題離不開影象，他講相對論的時候腦子裡是一列火車。費曼也是從直覺出發，先感覺“應該是這麼回事”，再去做實驗、寫方程。博勒提到塞巴斯蒂安·特龍（Sebastian Thrun）跟她講過的一段經歷：給史密森尼學會做機器人，機器人在白噪音上出了問題，特龍憑直覺就知道問題出在哪，但把它寫成嚴格的數學證明，花了三個星期。 直覺先到，證明後到，中間隔三週。這個時間差本身就說明，直覺和形式化是兩套系統，學校裡只訓練後一套。 還有一件被忽略的工具：顏色。把一個代數表示式裡的 x 標成紅色，後面所有出現 x 的地方也用紅色寫，孩子一眼就能看見對應關係。這種編碼看著微不足道，博勒說，很多小學老師在她的工作坊裡看到這個，當場就哭了。教了半輩子數學，第一次意識到原來可以這樣看。 ## 掙扎的時候，大腦正在長東西，但前提是你相信自己能長 這裡有個容易走偏的地方。既然掙扎是好事，那是不是應該讓孩子多受苦？ 博勒的答案是：**掙扎本身是好時機，前提是掙扎的人相信自己最終能出來**。 教育系統裡最有害的一個觀念，是“數學腦”的說法。你要麼天生帶著這塊腦，要麼沒有。一個孩子在五年級第一次卡住的時候，如果腦子裡響起的是“果然我沒有數學腦”，那他接下來做的事就是關掉。大腦真的會關掉，成績從這裡開始往下滑。此後的掙扎變成了痛苦的自我確認，生長停在了那一步。 “我們可以掙扎，是因為我們知道自己能到那裡。”她說這句的時候，把因果順序講得很清楚：先有信念，掙扎才有意義。 聊到這兒，Lex 講了自己在蘇聯長大的經歷。數學是被強制灌進來的，他是被強制著愛上數學的。蘇聯體系裡有兩點讓他印象很深。 第一是**對卓越的推崇**。成功的定義是“你在那個班、你在這件事上真的強”，跟“你比昨天進步了”是兩回事。這跟美國對體育的態度一樣：你要麼是首發，要麼不是。第二是那個信念：**每個人都有能力達到卓越，如果你沒達到，那是你不夠努力**。 博勒對這套東西的態度很微妙。她認為美國的問題恰恰相反：卓越重要，但孩子在很早的時候就被分成了“能做的”和“做不了的”，後面那批人乾脆不努力了，因為努力也沒用。如果能把“你可以透過努力到達”這個信念裝進去，改變是巨大的。 但這個信念有個副作用，她也直接說了：如果沒到達就是你的錯，那些沒到達的人會背上不該背的東西。她要在這個信念上加一個條件，**任何人都有可能到達，但他需要努力，也需要好的教學**。有一大批人並非不行，他們從頭到尾沒遇到過一個能把這件事講明白的老師。 至於“多學數學”這件事，她的態度是有條件的贊成。如果數學是有趣的、開放的、多維度的，那多學當然好。她和團隊在斯坦福辦夏令營，課排三個小時。備課時老師們擔心：三個小時，孩子坐得住嗎？結果是**孩子不肯去休息，也不肯去吃午飯**，因為正卡在那些圖形規律裡，停不下來。 什麼時候的孩子最容易放棄？博勒給了一個具體的時間點：**大約從五年級開始，初中那幾年最關鍵**。 原因有點諷刺。小學低年級是允許孩子探索和亂想的，到了五年級，老師開始說“我們要為初中做準備了”，然後開始打分、開始密集測驗。孩子的自我評價就是從這個節點開始崩的。初中三年，一大批人正在做決定：STEM 這條路我繼續走，還是到此為止。 她說每一年都重要，每一年都能把孩子掰回另一條路上。但那幾年，槓桿最長。 ## 老師不需要事先知道誰會優秀 回到開頭那個實驗。博勒在教師培訓上講完之後，有位老師說：那我們不能把它做成一個印章嗎？她的回答是：我建議不要。 理由跟這句話有沒有用無關。這句話的力量來自它是具體的、專門寫給這個人的。變成印章，它就變成了牆上的標語。 真正起作用的，是孩子坐在教室裡一直在想的那個問題：**我的老師覺得我能做到嗎**。這個問題他們不會問出口，但他們一直在收集證據。所以老師要說出來，而且要真的相信。嘴上說說，孩子聽得出來。 Lex 在這裡插了一段自省，說得挺實在。他說自己是個極端的完美主義者，對自己極其苛刻。有學生過來問問題，他清楚這孩子離“好”還差得遠，心裡那個念頭會冒出來：算了吧。但他也知道，歷史上很多了不起的人，某個階段都很爛，有些人爛到了很晚。所以他必須一直相信這個人可以變得很厲害，同時把“你得下功夫”這句話也說出去。 博勒接過話頭，說到矽谷。她住的地方塞滿了學校的退學生、被判定有特殊需求的孩子、沒在體系裡成功過的人，而這批人後來做出了很了不起的事。她對這個現象的解釋很直接：**學校系統擅長篩選記性好、能復現老師演示的學生，同時把想得慢、想得深的創造性思考者推出去**。後者在很早的時候就接收到了“你不行”的訊號。 那老師要不要專門去關注那些眼睛發亮的學生？博勒說，重點在老師能不能接住那一刻，提前預測誰會成為那個學生是做不到的。因為**老師在發下任務之前，根本不可能知道誰會發光**。 她講了個夏令營的片段。孩子們在算不同尺寸正方形的邊框要多少塊。下課時一個男孩走過來說：我一直在想，如果換成五邊形會怎麼樣。她說，太好了，五邊形會是什麼樣？你去把它找出來。她說自己完全沒預料到會有這個提問，也沒在心裡給這個孩子預留過拓展任務。但事情發生的時候，她能接住。 接住的方式還不止一種。Lex 說自己吃的是反向那一套：你告訴我“這個你肯定做不到”，我立刻就來勁了。但對另一個孩子，同樣一句話可能直接把人打垮。博勒同意，這也正是教學難的地方，同一個動作對不同的人效果相反。 還有一位數學家的故事，博勒講得很動情。瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani），伊朗長大，世界上第一位拿到菲爾茲獎的女性，在斯坦福任教，40 歲去世。她的工作幾乎全是視覺的，她女兒一度以為媽媽是藝術家。博勒曾被邀請主持她一位學生的博士答辯，兩個小時的展示，她回憶說自己一個數字都沒看到。 她當時想的是：我應該帶一個 13 歲的孩子來聽這場答辯，那孩子根本不會承認這是數學。 而米爾扎哈尼 13 歲的時候，被老師告知她數學不行。 ## 孩子平均兩分鐘就放棄一道題 從學生自己的角度看，最該改的習慣是什麼？ 博勒給的第一條很具體：**別用重讀的方式複習**。翻開老師的講解或者例題，看一遍，感覺懂了，合上書走人。問題在於那個“懂了”是假的。真正理解與否，要等你動手做一道題的時候才會暴露。 她引用神經科學的建議：不斷給自己出題。測試比閱讀有效得多，因為測試能告訴你，哪些你是真會，哪些你只是看著眼熟。 第二條是關於作業的形態。她建議不要讓孩子回家做二十道題，而是讓他回答幾個問題：今天學的那個大想法是什麼？哪一部分你覺得難？你在哪裡卡住了？什麼地方讓你覺得有意思？ 這個建議背後有個現象很多人有共鳴。孩子一路做題，全對，做了好多年，但你問他這門課到底在講什麼、學了有什麼用，他答不上來。題目做對了，主題沒進去。 Lex 把這個思路往大處推了一層。人這一輩子很少問那個“為什麼”，而小孩在很小的時候天天問，長大後就不問了。有組資料博勒提到過，孩子在學校裡提問的數量，從低年級開始基本是一條向下的直線。低年級你攔都攔不住，後來他們學會了不問。 但“為什麼是這樣”通常是有答案的，而且答案往往不壞：這麼做是因為在這個條件下它成立。真正值錢的一刻，是你問完之後發現答案是“因為歷史上就是這麼定的，其實有更好的辦法”。發明就是從這兒開始的。這套思維方式不只用於數學，選職業、選城市、選跟誰過一輩子，都是同一套。 第三件事是深度。Lex 提到卡爾·紐波特（Cal Newport）的《深度工作》，問博勒怎麼看專注力這件事。 她的做法是給一個真正夠深的問題，然後不打擾。她給老師做培訓時常這麼幹：給你們一小時，一小時後我回來看看。老師們的反應是“一小時？”然後他們開始做，一小時後她回去問怎麼樣，回答是“一小時過去了？怎麼可能”。 她在斯坦福給本科生上的一門課，每一節都在做這種題。學生最後的反饋是：我不想回到以前那種數學關係裡了，那種只追求快速給出答案的關係。 這裡有個數字值得停一下。**有調查問學校裡的孩子：一道數學題你會想多久才放棄，判定它做不出來？全樣本的平均值是兩分鐘。** 兩分鐘。這個數字說明的是他們從沒被允許在一道題上待夠，跟聰明不聰明沒關係。專注本身是塊肌肉，五分鐘、十分鐘、三十分鐘、一小時，是可以練出來的。沒練過的人，坐十分鐘都難受。而在數學這類科目上，不到那個深度，就摸不到解題真正讓人上癮的那一下。 Lex 提到格蘭特·桑德森（Grant Sanderson），也就是 3Blue1Brown。博勒說自己很喜歡他的東西，還開玩笑說應該跟他合作，她出視覺素材，他做成那種驚豔的動畫。 桑德森的路子是用程式生成動畫，把數學概念變成看得見的過程，再配上敘事：先給一個小例子，然後不聲不響地拐一個彎，出現一個意外。博勒評價說，這套東西會讓人愛上那個概念。 桑德森自己說過，他不認為自己在教完整課程，他更像一個點火的人。博勒同意這個定位，也不可能要求他把整個課表都做成那種質量。 但有個細節值得說：他把做動畫的庫 Manim 開源了，用 Python 寫，能動畫演示方程和圖形。程式碼本身文件不算完善，但它放出去之後，冒出了一大批人用它做數學影片。這些人大多沒有百萬訂閱，一個影片幾百次播放，但 Lex 說，從這些人的角度，做那個影片的過程本身就是一次改造。**教是最好的學，這是費曼那套東西。** ## 三年級的 60 條標準，把一張地圖剪成了碎片 那教學層面能改什麼？博勒手上有具體的活。 她是加州新數學框架的五位撰寫者之一。這個框架的核心主張叫“教大想法”（teaching to big ideas）。 她解釋了現行標準的問題。以三年級為例，光“單位正方形”這一個概念，就有三條不同的標準。其中一條的原文是：邊長為 1 個單位的正方形，稱為單位正方形，其面積為 1 平方單位，可用於測量面積。教材編者拿到這條標準，就圍繞它編一堆窄題，然後用學生能不能答對這些題來衡量教學成敗。 她的比喻是：數學本來是一張想法和想法之間連線的地圖，標準把這張地圖剪成很多小片，一片一片發給學校。**老師看不到片與片之間的連線，學生更看不到。** 加州這個新框架做的事，是把 K 到 10 年級的整個數學拆成一組大想法和它們之間的連線。三年級不再是 60 條標準，而是若干個能彼此打通的大概念：測量、分數、形狀、時間，以及它們怎麼連起來。 對老師的實操意義是這樣：一位老師發現這學期的大想法是“測量”，他不再去讀五條關於測量的程式性陳述，而是問自己，有什麼又深又有意思的活動，能讓孩子真的在做測量的過程中把這件事吃透。孩子在這類活動裡做上幾天，會順帶撞上很多別的數學。 評價怎麼辦？博勒的態度很明確：**她不喜歡評分和頻繁測驗**。 分數放在課程結束時是合理的，那本來就是終結性測量的用途。問題出在美國的數學課堂把評分變成了日常動作，每週、甚至每天。她講自己孩子上高中的經歷，技術讓這件事變得更糟：所有作業都被打分，分數實時顯示在線上成績冊裡，孩子們隨時能查，然後帶著那個數字走進下一節課。 她管這個叫表演文化。你在那兒表演，有人在測量你，你隨時能看到自己的分數。這種環境下深度學習很難發生。 替代方案是量規（rubric）。一個單元開始時把這份量規給孩子，讓他看見這幾周要走的路，看見什麼叫做得好。中途讓學生自評，老師在上面寫具體的備註：接下來幾周你可以試著學這個。孩子腦子裡轉的就不再是“我是個 A 學生還是 B 學生”，而是“我在數學上走到哪兒了”。學年結束給一個分數沒問題，過程中給的是資訊。 Lex 在這裡補了一個自己的經驗。他說自己上過的最好的課，是教授看出來他對某個特定方向有興趣，然後專門給了他一點額外的東西。其中一位用的是激將法：我不覺得你能做成這個。他就把全部力氣砸進去做成了。 他說這類“特別對待”很珍貴，但也承認這對老師要求太高，一個班那麼多學生，不可能都盯住。博勒的回應把這件事拉回了可操作的層面：孩子表現出興趣的那一刻，只要能被接住並往前推一把，就夠了。誰會成為那個孩子，事先看不出來。 ## 七個點，十八種看法 博勒第一次見一群學生會做一件事，她建議所有數學老師都試試。 她放一張圖，上面七個點，擺成一個特定形狀。只放幾秒，然後收走。她的指令是：告訴我這裡有幾個點，但不許一個一個數，我要看你是怎麼把它們分組的。 幾秒鐘不夠數完，所以孩子只能靠一眼看出的結構。收走圖之後她挨個問：你是怎麼看的？ 一個 30 人的班，能出大概 18 種看法。有人看成一個外圈加中心一點，有人看成幾條線，有人看成分段的塊。她把這些全寫在黑板上，最後說：我們班 30 個人，用 18 種方式看了這七個點。 這個能力有專門的名字，叫 groupitizing，可以譯成“群組化”。而研究發現，**一個孩子群組化的水平，能預測他後續的數學表現**。 這句話的分量在於對比。現行的做法是用限時口算測驗來判斷一個孩子數學好不好，而博勒的意思是：讓他看一眼七個點、說說怎麼分的，可能是更有資訊量的評估。 這個能力可以練出來，並非生下來就有。從幼兒園到博士生都玩得起來。 這堂課真正在傳遞的東西，是那七個點之外的另一個資訊：**在這個教室裡，你怎麼看這道題是被當回事的**。 順著這個往下，就是創造力和靈活性。博勒說 21 世紀真正需要的是一個靈活的腦子，學校該教的是面對問題時能換角度的那種能力，而不是某個特定方法。她提到一本書叫《Elastic》，講的是彈性思維，跟她的主張是一回事。 學校的現狀是反過來的：大量時間花在記憶和按步驟執行上，而這些恰恰是計算機現在做得比人好的事。真正屬於人的那塊，創造性、靈活的組合、跨界的聯想，計算機才剛起步。人腦天生擅長這個，學校卻在削弱它。 還有一個被低估的維度：協作。 2019 年，博勒在斯坦福教一門 100 人的微積分課。這些學生進校時基本都反感在數學課上合作。他們過去只有兩種經驗：一個人做題，或者小組作業裡一個人幹了全部。所以他們不覺得合作跟數學有什麼關係。 而且他們身上帶著很強的社會比較：我坐在這間教室裡，旁邊的人比我強，比我快，他想到了我沒想到的。 博勒的團隊花了四周訓練他們放下這套東西。前後測的設計很有意思：不給限時獨立測驗，而是給一道應用題，讓學生兩人一組做，每人一支不同顏色的筆，全程不換筆。 第一輪收上來的紙，一眼就能看出來：紅筆寫一塊，綠筆寫另一塊，兩個人各寫各的，問題也沒做好。那道題其實初高中生都能上手。 四周之後再給同一道題，同樣的規則。這一次他們真的在合作，而合作的那幾組成績更好。學生後來寫的反饋裡反覆出現一句：我學會了重視別人對同一道題的想法。 Lex 在這裡講了丹尼爾·卡尼曼（Daniel Kahneman）。他第一次跟卡尼曼面對面交流，對方對他研究的自動駕駛幾乎一無所知，但一直在問，問得非常具體，純粹的好奇。十分鐘後，兩個人已經在共同琢磨這個問題了。他說那一刻他意識到，**協作是一項技能，前提是你得把自己的 ego 和自己的世界觀先放下**，真的去學對方怎麼看這件事。 博勒補了另一半：還有社會比較要放下。如果你坐在那兒想“這個想法太棒了，他比我強太多”，那個想法本身的價值就被這個念頭蓋住了。斯坦福那批學生一開始卡的就是這一關。 Lex 還講了一個他自己的觀察。稍微有點名氣之後他發現，公開為別人叫好，回報遠比想象中大。反過來，那種“我要讓周圍這一小圈人知道我最聰明，辦法是不承認別人聰明”的做法，短期看著划算，長期是虧的。這套東西如果從學生時代就開始練，一直練到職場，收益是複利的。 ## 母親說“我數學也不好”，女兒的成績會下降 家長該怎麼辦？博勒說這是另一個難題。 有研究顯示，**父母的數學焦慮能預測孩子的數學成績，但只在一個條件下成立：父母輔導作業的時候**。不輔導，這個傳遞就斷了。 機制不難想。一個自己怕數學的家長，坐在孩子旁邊輔導，嘴上說著“我上學的時候這個也爛透了”。這句話傳過去的東西，比任何一道題的解法都深。 更具體的一項研究：母親對女兒說“我上學的時候數學不好”，女兒的成績會往下走。 所以她的建議乾脆得有點好笑：如果你跟數學的關係很糟，那就別陪孩子做數學作業。以及，**在孩子面前假裝喜歡數學**。哪怕你恨它，也要裝出樂在其中的樣子。 YouCubed 上有一份給家長的說明，講怎麼跟孩子圍繞數學互動。 至於“孩子會不會超過我”這種心態，博勒說自己沒怎麼見過家長在這一點上彆扭。她見得多的是另一種：家長自己跟數學關係很差，不知道怎麼幫，乾脆躲開。而躲開的代價，孩子是能感覺到的。 她還提了一句，連斯坦福的本科生都是這樣。這些人在數學上一直成績很好，但進了大學還認為數學就是一堆要背下來的方法，背完再復現。**如果沒有親身經歷過另一種數學，人是很難把孩子往另一個方向帶的**，因為在他們眼裡，數學就長那樣。 順便說個輕鬆的。Lex 問她，為什麼英國人管數學叫 maths，是複數？ 她的回答很符合她一貫的主張：mathematics 本來的意思就是那些數學，幾何、機率、各種分支，本來就是多維的、多條的。縮寫成 maths 保留了這個複數感。美式英語縮成 math，變成單數，感覺就不一樣了。美國還有句常用語叫“do the math”，意思是算一下數。她說自己不喜歡這個說法，因為數學遠不只是計算。 ## 資料科學擠進高中課表，因為它塞不進任何一門學科 那整個系統會怎麼變？ 博勒是樂觀的，但她也承認教育系統變化極慢，慢到顯微鏡級別。不過她確實看到變化正在發生，而且有個具體的例子。 資料科學現在可以作為高中課程，替代代數二。 這件事的意義在於時間尺度。她說，美國高中數學的內容框架是 1892 年定下來的，此後基本沒動過。一百三十年後，課表上終於多了一門新東西。 它是怎麼擠進去的？2014 年有人給高中生開發了一門資料科學課。第一批孩子上完之後沒出什麼事，照樣上了大學，接受度慢慢起來。真正的轉折點在加州：加州大學系統給五萬所高中發了一封郵件，說我們承認資料科學，學生可以用它替代代數二，這是一條完全正當的升學路徑。 對很多還在觀望的學校，這封郵件就是綠燈。博勒說，她上次看的時候有 12 個州允許資料科學作為高中課程，她估計第二年這個數字會翻倍。 路徑很清晰：先在邊緣長出來，有人驗證，然後一個權威機構蓋章，接著擴散。 資料科學能擠進來，還有個更微妙的原因：**它不屬於任何一門現有學科**。它不完全算數學，也不完全算計算機，也不完全算統計。它一進來，就逼著人問：這門課歸誰教，放在哪個系。學科邊界這件事本身開始被質疑。 博勒對一百年後的想象是這樣的：學科邊界可能沒有了，因為它們本來就不太說得通。程式設計會像讀寫一樣，融進所有事情裡，孩子在學的過程中就在創造、在查、在做。現在這套學校體系常被叫做工廠模式，它的設計目標裡從來沒有“激發創造力”這一項。她說後人回頭看今天，可能會覺得挺好笑。 她還留了一點自嘲。她自己也沒預料到資料科學能這麼快落地。 最後說說 YouCubed。這個網站大約五年前上線，到現在累計訪客超過 5200 萬。 它存在的原因很具體。學術界關於怎麼教數學其實知道很多，論文、期刊、研究一大堆。但老師不讀這些，讀不到，很多卡在付費牆後面，寫法也讓人讀不下去。**一整個行業在花錢研究怎麼教得好，然後不告訴真正在教的人。** 所以她的做法是把論文翻譯成可用的東西：把研究結論變成老師明天就能用的課、給孩子看的影片、給家長的建議。 他們受“程式設計一小時”啟發，做了“數學靈感周”（Week of Inspirational Maths）：別的不說，先試一週，看看會發生什麼。這個東西被下載了幾百萬次，很多老師每年開學第一週就用它。老師反饋說，那一週孩子的眼睛是亮的，特別興奮。然後一週結束，翻開教材，燈滅了。 這個反饋很扎心，也很真實。博勒說，她真正想做的是把那一週延長成整年，但團隊太小，做不出覆蓋每個年級每一天的創造性任務。 後來他們真的做了一部分：用五年時間，做完了 K 到 8 年級的全套數學書，按大想法組織，配豐富的活動和視覺。她說做完的時候，人已經累垮了。 ## 教材像聖經，每天翻到 2.3.2 那一節 聊到教材，兩個人的態度很有意思。Lex 是真心喜歡紙質教科書的，他形容那東西有漂亮的圖、氣味好聞、翻開的手感也好。他說高中那幾年可能是他學習生涯裡最快樂的日子，物理、化學、生物、微積分、解剖、莎士比亞，全都過一遍，沒有人逼你決定這輩子幹什麼。 博勒沒有反駁這個體驗，但她給出了另一面的畫面。 YouCubed 網站上有一段影片，拍的是來參加夏令營的孩子。其中一個學生說：上數學課你得跟著教材走，教材就像聖經，你必須跟著。週一做 2.3.2，週二做 2.3.3，週三接著往下，永遠不能偏離。 她說這些孩子最喜歡夏令營的一點，是這裡沒有書。雖然發的也是一張張紙，但他們感覺自由，因為不用一節一節地刷練習。 Lex 替教材說了句公道話：那種 2.3、2.3 的結構其實給了人進度感，一道題看著難，試了又試，突然通了，往前挪一格，一章結束有個交代，翻到下一章。這種小型的成就感是真實的。 博勒接受了這個說法，但她把問題挪了個位置：教材能不能給人好體驗，取決於裡面裝了什麼，跟有沒有教材關係不大。 她還提了一個美國特有的現象。她自己在英國長大，英國數學不分代數和幾何，據她所知，全世界大概只有美國這麼分。看著孩子們整整一年只學代數，她的評價是：換成我，我會相當無聊。 這個觀察跟前面說的“多維度”其實是一件事。把數學切成代數、幾何、統計，切成 2.3.2 和 2.3.3，都是在把那張連線的地圖剪碎。碎片好管理、好考核、好排課，但學的人看不到全圖。 ## 線上課真正管用的地方，是讓人動起來 博勒跟線上教育的緣分，起點是塞巴斯蒂安·特龍。她看著特龍放出第一門 MOOC，覺得自己也可以做一門數學教育的課。 第一年夏天上線，免費，**三萬名數學老師來上**。他們在課上互相討論、互相轉發，事情就這麼起來了。後來正是這門課催生了 YouCubed，因為學員上完之後一直在問：接下來呢，還有什麼。 她對 MOOC 的評價是分層的。把好老師放到網上，讓全世界的人都能接觸，這本身是好事。但她不認為 MOOC 實現了早期宣稱的教育民主化。資料顯示，來上 MOOC 的人往往本來就是條件更好的那批人。所以那個最初的興奮，有一部分落空了，還有很長的路要走。 她更在意的是教學方法。大量 MOOC 就是一個對著鏡頭講話的人，這不算好的教學。她從 Udacity 學到一條硬規則：**連續講授不要超過五分鐘，然後必須讓人做點什麼**。 她的線上課就是按這個節奏搭的：講一小段，給點視覺的東西，然後彈出一個問題讓人答。理由很樸素，半小時的影片，人看著看著就開始幹別的了。 她還有一門給孩子的小課，叫《如何學數學》（How to Learn Math）。六節課，每節十五分鐘。內容是展示數學作為視覺的、創造性的學科，加上一些思維模式和腦科學的常識。 這門課做過隨機對照試驗。實驗組是上了課的中學生，對照組是沒上課、但由同一批老師教的中學生，老師這個變數被控制住了。結果是：**上了課的孩子，在數學課上的投入度高出 68%，學年末的成績也更好**。 十五分鐘乘以六，總共不到兩個小時。它改變了一批孩子跟數學的關係。博勒用這個例子說明，教育系統裡有些改動並不需要動大手術。 ## 把孩子問問題的數量畫成一條線 有個資料博勒說她每次想起來都覺得難過。**孩子在學校裡提問的數量，從入學開始基本是一條持續下降的直線**。低年級的時候你攔不住他們問，後來他們學會了不問。 這條線跟前面那條“大約兩分鐘就放棄一道題”的線，其實是同一條線的兩個斷面。提問是不確定的開始，是承認自己不知道。在一個答案被反覆打分、錯一次就掉一分的環境裡，不問是理性的。 所以她做教師培訓時會強調一件很具體的事：孩子提問的時候，要把它當回事。YouCubed 的做法是把孩子的問題寫在紙上貼到牆上，公開慶祝。 她講完自己高中那次經歷之後，Lex 問了句：那位老師後來知道自己造成了什麼影響嗎？ 博勒的猜測很寬容，她說那位老師大機率完全沒意識到。一個糟糕的瞬間，可能只是他那天心情不好，隨口一句。而對面的那個十七歲的人，把這句話記住了幾十年。她說這也是教學這份工作難的地方，你的語氣本身就帶著分量。 反面也有。她提到自己有一位叫馬歇爾（Mrs. Marshall）的老師，是她的 A-level 數學老師。英國的模式是十六歲以前什麼都學，之後選三到四門專攻，深度大概相當於美國碩士階段的專業化程度。 馬歇爾做的改變只有一件事：**她給題目，然後讓學生互相討論**。 博勒說自己十七歲那年坐在那兒，跟朋友一起想辦法解一道題，就這樣。她開始聽到別人怎麼想、怎麼看，幾個人湊出一個解法。她說就是那一下，數學在她眼裡變了。 她特別強調，這跟馬歇爾對她個人的關照無關，兩人之間沒有任何私下的鼓勵談話。起作用的是這位老師設計的那種協作體驗。**老師改變一個孩子跟數學的關係，有時候什麼都不用說，只需要換一種上課的方式。** 一個老師毀掉一個學生的提問習慣，另一個老師換來一個學生一生的數學關係。同一個行業，同樣四十五分鐘一節課。 ## 你身邊的人，會決定你相信自己能做什麼 訪談快結束的時候，Lex 問她，對年輕人有什麼建議。 博勒先自嘲了一句，說接下來的話聽起來會很像雞湯：**永遠相信自己，知道自己能夠達成**。 然後她解釋為什麼這句話值得說。因為這個道理聽著像廢話，但現實是數以百萬計的孩子在學校系統裡被反覆告知自己不行。成年人也一樣，他們選擇某個職業的理由往往是“另外那些事我肯定做不好”。所以當有人對他們說“也許你可以試試那些”的時候，很多成年人的第一反應是：說不定真可以。然後他們回去重新學，換掉職業，事情真的發生了。 她提到科學家一直在找學習的上限。找來找去，找不到。人可以一直往前推，再往前推。這個結論對那些出生時部分腦區功能不全、被歸為“特殊需求”的孩子同樣成立，其中一些人後來做成的事一樣驚人。 她說，希望所有人都能真正體驗到那種感覺。**這話得真的知道，停在嘴上承認是不夠的。** Lex 在這裡補了一層，說得挺狠。他說這個道理在成功之後同樣適用，甚至更難。因為愛你的人會一直慶祝你已經取得的成功，他們希望你繼續做那件你已經被證明擅長的事，而不是支援你去做心裡真正想做的、風險更大的事。 他講了自己最近才真正意識到的一件事，說有點慚愧：年輕的時候，主動去找導師、去找那些會相信你的人、把自己放進這樣的圈子裡，這件事的價值被嚴重低估了。 很多人以為讀研就是“落到”一個導師手裡，選導師主要看研究方向。但真正決定一個人生命軌跡的，是他長期泡在誰中間。所以要主動挑那些相信你的人，也要遠離那些不相信你的人。 有時候這道坎來自父母。父母可以深愛你，同時在你身上設下一些限制性的信念，用的還是他們自己的經驗。博勒接過這句話，說得更直接：如果你對數學有興趣，而你父母對數學沒什麼興趣，那在這一件事上，別聽他們的。 她提到自己寫《Limitless Mind》時採訪過不少人，這些人小時候被父母或老師告知“你學不了數學”。幸運的是，他們在人生的某個節點遇到了別的說法，然後發現一整片數學思維的世界對自己是開著的。**找到那些相信你的人，哪怕很難找，也要找。** Lex 在這裡說了一句總結性的話：一個人身邊站著誰，基本就決定了他會相信自己能做什麼。 ## 關於未來，她保留了樂觀 最後一個問題：五十年、一百年之後的教育該是什麼樣子？ 博勒說她有希望。教育系統的變化通常慢到顯微鏡級別，但她確實看見事情在動。資料科學進高中課表就是一個訊號，一門 1892 年定下來的課程體系，居然真的被撬開了一條縫。 她的想象是：也許學科邊界會消失，因為那些邊界本來就不太說得通。程式設計這類工具會深度嵌進所有事情裡。孩子們在學的過程中就在創造、在查證、在做東西。 她現在這套學校體系常被叫做工廠模式，那套設計裡從來沒有“激發創造力”這一項。她說，後人回頭看今天，可能會覺得挺好笑。 訪談的結尾，Lex 唸了一句愛因斯坦的話作為收束：**純數學是邏輯思想的詩**。 這句話放在整場對話的最後，位置挺合適。博勒花了一輩子做的事，就是把這句詩從論文和標準檔案裡撈出來，翻譯成七個小點、一支彩筆、一道能讓孩子坐上一小時的題、一句寫在作業本底下的“我相信你”。 她做的事情不宏大。她沒在重構整個教育系統，她在給老師發能明天就用的課，在給家長寫一頁說明，在告訴一個十七歲的女孩“你怎麼看這道題很重要”。但這些東西的連線處，恰恰是那個 1892 年至今沒怎麼動過的地方。 順帶說一個細節。她那門給孩子的小課只有六節、每節十五分鐘，總共不到兩小時，卻把學生的課堂投入度提了 68%。這個數字放在教育改革的大敘事裡顯得太輕，輕到不像能撬動什麼。可它說明了一件事：改變一個孩子跟數學的關係，需要的劑量可能遠比我們以為的小。真正稀缺的，是有人願意把那十五分鐘做得足夠好。 她自己也是這麼過來的。十七歲那年，馬歇爾老師沒跟她說任何一句鼓勵的話，只是把題目發下去，讓她跟朋友一起想。就這樣。 ## 可以立刻做的幾件事 這期對話資訊密度很高，落到具體動作上，不同角色都有明確可執行的事。 - **把複習方式換掉**：別再靠重讀講解和例題。合上書，給自己出題，讓漏洞自己暴露出來。看著眼熟的那個“懂了”是假的，動手做一遍才知道。 - **測一下自己的放棄閾值**：拿一道真正難的題，計時，看你能撐多久。調查的平均值是兩分鐘。把專注當肌肉練，五分鐘、十分鐘、三十分鐘、一小時，這個長度是可以長出來的。 - **如果你是老師**：每週至少留一次一小時不被打斷的深度解題時間，哪怕只佔一節課。給學生一道夠深的問題，然後閉嘴。 - **如果你想鼓勵一個學生**：別做成印章，別做成牆上的標語。針對這個人、這件事，說具體的話，說“我給你這個反饋，因為我相信你能做到”，並且真的相信。孩子一直在收集證據，裝不出來。 - **如果你是家長**：如果你跟數學的關係很糟，就別陪寫數學作業。在孩子面前，裝也要裝出喜歡的樣子。開口說“我上學時數學也不好”之前，先想想那兩項研究。 - **練一次群組化**：七個點擺成圖形，看一眼就收走，問自己是怎麼分組的。換個擺法再來。這個練習從五歲到博士都管用，而且它能預測數學表現。 - **把學到的講出去**：寫一個視覺化的小程式、錄一段講解、給同學講一遍，都算。桑德森開源的 Python 動畫庫 Manim 就是幹這個用的。自己動手做一版，往往比再看十遍影片管用。 - **挑你身邊的人**：主動去找那些相信你能做成事的人，靠近他們。同時把那些反覆告訴你“你不行”的聲音調小，哪怕那聲音來自最愛你的人。 最後一句留給那位差點被一句反問關上門的十七歲女孩。她後來成了斯坦福的教授，靠一件事改變了成千上萬個老師和學生跟數學的關係：把題目發下去，然後讓孩子們互相討論。 這件事沒有門檻。任何一個教室裡，明天就能做。