# 格蘭特·桑德森：3Blue1Brown 與數學之美 > 3Blue1Brown 創作者談如何用動畫講解數學，讓抽象概念變得直觀且富有感染力。 - 原標題：Grant Sanderson: 3Blue1Brown and the Beauty of Mathematics - 期數：特別節目 - 釋出日期：2020-01-07 - 嘉賓 / 主題：格蘭特·桑德森 - 網頁版：https://lex.qiaomu.ai/tw/ep/grant-sanderson/ - 官方頁面：https://lexfridman.com/grant-sanderson/ - 精讀字數：約 10202 字（閱讀約 23 分鐘） > 本文為 lex.qiaomu.ai 基於原始訪談的 AI 改寫中文精讀，非官方翻譯；引用請註明出處並連結網頁版。 如果宇宙中存在其他智慧生命，他們會發展出和我們一樣的數學嗎？ Grant Sanderson（格蘭特·桑德森）給的答案很乾脆：大機率非常不同。 他是 YouTube 頻道 3Blue1Brown 的創作者，用程式化動畫講線性代數、微積分和數學裡那些說不清道不明的東西。在這場對話裡，他從外星人一路聊到尤拉公式為什麼被高估，從模擬宇宙聊到無窮大為什麼沒那麼可怕，中間還承認自己做的影片其實並不能讓人真正學會數學。 ## 外星人會有自然數，但未必會有 e 的 x 次方 Grant 認為有些東西是全宇宙通用的：一、二、三，自然數。理由很簡單，只要你會數數，你就有了“重複”這個概念，你可以數兩次、三次，重複數數的動作自然就帶來了加法和乘法。這部分他覺得沒什麼可爭議的，甚至連“自然數”這個名字本身就說明了問題。 真正有選擇空間的地方在後面。我們怎麼把數從自然數擴充套件到實數，這一步就帶著人為痕跡。他提到一個很少被提起的例子：超現實數（surreal numbers）。這是另一套數系，同樣能捕捉連續性的概念，同樣可以當作建模行星運動的數學底座。你換一套後端，前端看到的物理定律可以完全一樣。 換句話說，**數學的“介面”可能是共通的，但“實現”未必只有一種**。Grant 好奇的是，我們目前從不同數學家那裡看到的那些不同選擇，究竟只是冰山一角，還是已經接近了全部可能性。如果一種智慧生命的思考方式、與宇宙互動的方式都和我們完全不同，他們會走出多遠的分岔？ ## 他最討厭的記號，是 e 的 x 次方 聊到記號（notation），Grant 說這東西的重要性被嚴重低估了。大家都以為它只是外衣，實際上它會反過來塑造你怎麼想問題。 他舉了自己最不喜歡的一個：把指數函式寫成 e 的 x 次方。這個寫法暗示你先有一個叫 e 的常數，然後把它反覆自乘。對整數指數來說這沒問題，對分數指數就開始含糊，到了 e 的 πi 次方，你得把這套“反覆相乘”的思路硬掰到複數上去。Grant 的原話是，這相當於把一個人的胳膊扭到背後按在桌上，然後命令它去處理複數。教學上毫無幫助。 > 如果你真的去拆解 e 的 πi 次方，它說的是：選一個原點，始終垂直於從原點到你的那個向量移動，走 π 倍半徑的距離，你就到了對面的半圈。就這麼回事。（格蘭特·桑德森） 這句話值得再讀一遍。它描述的其實是一個運動過程：速度方向始終垂直於位置向量，你就會繞圈走。這是複數指數運算真正想捕捉的現象。可“反覆乘以一個常數”這個框架根本裝不下它，因為這裡的操作是 90 度的轉動，跟縮放完全是兩碼事。 Grant 說，為了把 e 的 πi 次方硬塞進“重複乘法”的解釋框架，不知道浪費了多少聰明人的時間，包括科學家、電氣工程師和全世界的學生。如果一開始就用微分方程來引入這個函式，很多困惑本可以避免。 他還補了一個自己都覺得好笑的觀察：e 這個常數，是微積分的數值代言人，而微積分研究的是變化。**用一個常數去代表“變化之學”，本身就帶著認知上的彆扭。**他說自己從沒這麼想過，聽完覺得挺有道理。 ## 尤拉公式被神話了，它只是把三個醜記號捆在一起 順著這條線，Lex 問出了那個著名的問題：尤拉公式被稱為數學中最美的等式，你怎麼看？ Grant 的反應是：美是美的，但沒有那麼神。它之所以顯得神秘，是因為記號太糟糕。 他拆了三處：第一，用了 e，而 e 是從人口增長、複利這些“自我強化的增長”場景裡長出來的，把它塞進旋轉的語境，位置很尷尬。第二，用了 π 而不是 τ，關於這件事他已經專門做過影片。第三，把虛數單位叫作“imaginary”，光這個名字就讓無數人以為它不真實。 三個容易製造混亂的記號，全部擠在一個等式裡，然後大家驚歎於它有多美。Grant 的說法是，剝掉記號這層皮，剩下的東西確實漂亮：如果你取一個 90 度旋轉的線性操作，再對它做某種指數化，你得到的是所有其他角度的旋轉。翻譯成人話就是，速度垂直於位置，你就走圓。這挺美，但算不上宇宙間最震撼的事。 他把 e 和 π 的關係形容成幾個孩子被塞進同一張床：它們確實有親緣關係，但沒那麼親，如果讓它們自己選，會想分開睡。真正的結構是這樣：有一個核心函式叫 exp，往實方向走，你碰到常數 e；往虛方向走，它呈現週期性，週期是 τ。**兩個常數來自同一個函式的兩個正交方向，它們的關係被那個等式誇大了。** Grant 說他對這個公式已經“過了約會期”。他做過三個關於它的影片，還打算再做至少一個。但那種心跳加速的感覺沒有了，現在他看它像一個剛睡醒、頭髮亂糟糟、眼下有黑眼圈的人。 ## 數學是發明的還是發現的：一個迴圈 回到外星人那個問題。Lex 把話頭引到了那個老問題上：數學是被發現的，還是被髮明的？ Grant 的答案是一個迴圈。你先從宇宙裡發現一些東西，這些發現告訴了你哪一套數學會有用；數學本身在某種意義上是發明出來的，但在所有可能的數學裡，是那些關於世界的發現替你做了篩選。 他拿勾股定理舉例。看那些用正方形拼來拼去的幾何證明，感覺像是發現。但如果你看我們怎麼把二維空間形式化成 R²（所有實數對的集合），怎麼在上面定義度量、定義距離，你會發現一件尷尬的事：**我們是先定義了一個讓勾股定理成立的距離，然後再說勾股定理成立。**這麼一看，那股發現的神聖感就淡了。 但 Grant 說，告訴我們該在 R² 上放哪個度量的，是物理觀察。你完全可以給 R² 定義別的度量，那套數學同樣自洽，只是它不描述我們生活的這個世界，因為在那個世界裡勾股定理不成立。 所以順序是這樣：先有一個貨真價實的發現，這個發現啟發了我們發明一套抽象表示；然後你開始單獨研究這套抽象表示，它自己會長出新問題、新發明、新謎團；這些謎團又可能帶來新發現，新發現再告訴你該發明什麼。**數學在發明和發現之間來回切換角色，從來沒法二選一。** ## 三類數學家，和一個說“數學是物理分支”的人 Lex 接著搬出了費曼式的問題：物理和數學的區別在哪？ Grant 先給了一個定義：數學研究的是抽象之上的模式，以及邏輯裡的純模式；物理則明確以理解我們所在的世界為目標。但他隨即說，這個問題你去問十個數學家，會得到十個答案，因為數學家本身分好幾類。 第一類是被純謎題吸引的人，他們喜歡組合數學，享受搭建一套解題工具、然後用在純模式上的過程。第二類是物理驅動的，他們主動去那些已知會和物理或電腦科學發生關係的方向上找問題，混沌理論就是個典型，它的表述完全是純數學的，但動機大量來自物理應用。第三類人熱愛抽象本身，喜歡把東西越抽越高，追求那種“能描述儘可能多事物”的力量感，拓撲學最早是他們搞出來的，後來他們又一頭扎進範疇論，聊起無窮範疇來能聊很久。 這三類人對“數學和物理什麼關係”的回答會完全不同。Grant 特別提到了 Vladimir Arnold（弗拉基米爾·阿諾德），寫了很多微分方程方面好書的那位，他的說法是：數學是物理的一個分支。當然，他本人研究的正是偏微分方程這類東西，動機來源就在那兒。 反過來，那些不太考慮物理的範疇論學者會覺得，抽象本身有力量，一般性就是價值，這套東西恰好能用來理解世界，是個令人愉快的巧合。 ## 為什麼宇宙的規律可以被寫成方程 Lex 追問了一個更深的問題：為什麼夸克的基本規律可以被壓縮成那麼幹淨的方程？這些方程比它們本來可以有的樣子簡單得多。 Grant 說他不知道，但可以給幾個猜測。 第一個是篩選效應。物理學家覺得有意思的，本來就是那些簡單到能用數學描述的東西。一旦系統複雜到一定程度，它就被劃到生物學或者別的領域去了。這更像是學科分工的結果，宇宙未必在配合我們。 第二個是從資訊理論的角度看，你總能把一個東西洗掉不重要的部分，最後剩下資訊量最低的那個核心元件。 第三個是他自己也拿不準的地方：他很難想象“本質上覆雜的定律”到底是什麼意思。一組彼此無法解耦的方程？一個規則到處都不一樣、徹底分散式的世界？ Lex 補充說，我們幾乎把“物理定律處處相同”當成了理所當然，但另一種可能是，這個世界的執行規則在每個地方都不一樣，那方程就無從寫起了。 Grant 從這裡拐到了人擇原理上。他反問：一個定律不可壓縮的宇宙，能允許出現會問這種問題的存在嗎？也許宇宙本來就不可壓縮，只是我們的大腦在進化中被塑造成了只能感知可壓縮的那部分。Lex 提了喬姆斯基式的觀點，說我們不過是猿類的後代，是一臺很有限的生物計算機。 Grant 的回應很實在：但我們確實能造出飛船。**能飛起來這件事本身就是個概念驗證，說明我們手上的定律沒那麼離譜。**你可以說模型被過度簡化了，但基於這些模型去改造世界，世界確實按你預期的方式回應了。 ## 模擬宇宙，和一個被忽略的物理限制 話題轉到了模擬假說。Grant 說他能接受這個想法的可能性，但他不接受那個流行的機率論證。 那個論證是這樣：如果模擬是可能的，被模擬的世界遲早也會造出自己的模擬，於是有第二層、第三層，層層套娃。那麼隨便扔一支飛鏢，扎中的大機率是某個模擬層，所以我們很可能生活在模擬裡。 Grant 的反駁是，這個論證預設了資訊處理能力沒有上限。但物理本身就給了上限：單位面積能儲存的資訊量是有限的，超過某個臨界點，那片區域會塌縮成黑洞。既然儲存有物理極限，那麼能套多少層就是個有限數。這時候問題就變成了：最高層宇宙擁有無限資訊處理能力和擁有有限資訊處理能力，哪個更可信？Grant 說他完全不知道怎麼給這個問題賦機率分佈。他覺得人們常常不自覺地給那個無限層級集合賦予了均勻先驗，這有點像帕斯卡的賭注，給了一個不該那麼低的先驗。 讓他真正在意的是另一件事：**資訊是物理的，它有下限，也有上限。**我們直覺上會覺得技術總能變得更好，總能往一小塊空間裡塞進更多資訊，但物理說不。這個事實本身就很值得琢磨。 ## 無窮大沒那麼可怕，可怕的是過度泛化 Lex 承認自己對無窮大在心理上不舒服，問 Grant 怎麼看。 Grant 說他挺自在的，然後給了一個漂亮的解釋。他先問：你覺得存在多少個由字母組成的“詞”？ 你不需要真的把所有的詞列出來。真正起作用的是那個性質：不管你列了多少個，在末尾加一個 a，你就得到了另一個可以想象的詞。讓無窮大成立的，就是這個“總能再加一個”的性質，你根本不必一次性把全體裝進腦子。 接著他把“抽象”這個詞重新定義了一遍。他說抽象不是玄學，也不是那種說不清道不明的東西。你每次稍微動一下臉，我視網膜上的畫素訊號就全變了，但我仍然有“這是 Lex”這個連貫的概念。這個能把無數種不同影象統一起來的東西，就是抽象。**它的本質是壓縮，是從一堆具體情況裡提取出共同屬性，並且這個提取結果對變化有很強的抵抗力。** 所以在他看來，無窮大和“Lex 這個人的概念”是同一類東西，沒有更多神秘色彩，也沒有更少。他甚至說，如果不用“抽象”這個詞，改用“一般”（general）會更容易理解，那麼 Lex 描述的那種危險其實就是“過度泛化”：一個概念如果泛到對任何具體情況都不適用，那它就失去了價值。 Grant 承認自己讀數學書時經常一頭霧水，感覺“這太抽象了，我想要點具體的東西抓住”。他說頻道的一大部分動機就是這股情緒：你花一個小時死磕兩頁紙，最後除了幾個定義和一點自我挫敗感，什麼都沒剩下。 ## 做影片必須選一個例子，這是它最大的優勢 這引出了 Grant 關於視覺化最核心的一個觀點。 他主張，理解的過程走的是從具體往上的方向。教科書講線性代數，第一節課就給你向量空間的定義，列出一堆公理，然後說從這些性質出發我們推匯出後面的一切。Grant 認為這完全不符合人腦理解事物的方式。真正的方式是從你能觸及的最低層開始：不要想向量空間，想一個具體的向量，就是一列數字；更具體一點，想一支畫出來的箭頭，它有明確的 x 分量和 y 分量。 而**視覺媒介強制你做出選擇**。你在螢幕上畫出來的那支箭頭，是一個實實在在的箭頭，不是一個“可以適用於任何事物的所謂向量”。你在程式碼裡必須寫清楚它的方向、它的長度。每一次選擇，都是在展示一個具體例子；每一個具體例子，都在幫某個人往前走一步。 他順帶交代了自己寫指令碼時的通病：第一反應總是先講那個抽象的、一般的、威力強大的定義，然後再補例子。每一次他都這麼做，而每一次反過來做都更有效。 正確順序是：先給一堆例子，讓觀眾的大腦自己去做模式識別。腦子會感到它們之間有種相似性。等你再丟擲定義或公式的時候，公式只是在為一個已經形成的直覺命名，而不是扔給觀眾一堆需要靠例子填充的高認知負荷符號，還得指望他們沒在半路走神。 ## 最美的數學，來自一本兒童小書的最後一頁 Lex 問：你見過最美的數學想法是什麼？ Grant 說，最美的東西往往是你只理解了一點點、但遠遠沒有全部理解的東西，那點殘留的神秘感本身就是美的來源。 然後他講了自己的啟蒙時刻。小時候他看過一套很小的書，好像叫 Wooden Books 系列，左頁一段極短的說明，右頁一張圖。在其中一本的最後一頁，某個不起眼的角落，印著一個公式：左邊是所有自然數的倒數的 s 次方之和，一路加到無窮；右邊是所有素數構成的某個乘積。 > 任何一個受過點數學薰陶的小孩，大概都被灌輸過素數有多混亂、多難捉摸，它們確實如此。然後你看到這個等式，一邊是你能想象的最容易理解的東西，就是數數的那些數字；另一邊是全體素數。那種感覺就是，等等，它們是這樣聯絡起來的？（格蘭特·桑德森） 這就是 Zeta 函式的尤拉乘積。Grant 後來才明白，這個等式本質上編碼了算術基本定理：每個數都能唯一地分解成一組素數。而它更深的意義在於，你可以用另一組數來描述素數，那組數就是 Zeta 函式的非平凡零點。 他說自己對黎曼猜想這件事依然常常力不從心。但每次多懂一點，它就更美一點，而且永遠留著足夠多的謎，讓它保持著那種美。 他描述學習路徑時很具體：多讀書，比如《普林斯頓數學指南》裡那篇解析數論的文章，文章後面還有一堆參考文獻，像一棵可以往上爬的樹。同時儘量把東西視覺化。他做那個 Zeta 函式的影片，起點就是程式設計時想看看某個東西長什麼樣，結果一看，被震住了，於是決定做一期影片。他還提到一個反覆出現的訊號：你會發現傅立葉變換的親戚們到處冒頭，那就說明值得專門花時間建立對傅立葉變換的深度直覺，哪怕那些文獻裡沒明說。 關於美，他給了一個更精確的說法：這些模式完全不可預測，極其精巧，但你不會覺得人類在研究物件的選擇上做過任何任意的決定。**你感覺自己是在和模式本身對話，或者說，在和自然本身對話。**任意的東西很難美，因為那就是“做作”這個詞的意思。不任意，意味著背後有乾淨的抽象和直覺可以把握它。 這也是他相信外星文明會研究同樣東西的理由：如果你真的遇到另一個智慧文明，他們大概也在研究 Zeta 函式的零點，或者某個明顯等價的親戚。 ## 一個關於拓撲的影片，和一個只要三分鐘的冷知識 說到最喜歡的作品，Grant 提到了《Who Cares About Topology?》這期。 影片從一道至今未解的數學難題開始：內接正方形問題。隨便畫一條閉合曲線，問曲線上是否存在四個點能構成一個正方形。這問題完全沒用，不回答任何物理問題，它的趣味就在於我們居然答不上來，而這個問題看起來如此自然。 把它削弱一點：能不能總能找到四個點構成矩形？這依然很難，但是可解的。解法路徑要用到環面（甜甜圈那種帶一個洞的曲面），要用到莫比烏斯帶。 Grant 說他小時候學這些東西時的感受是：誰在乎啊？把一條紙帶擰一下粘起來，得到一個只有一個面、一條邊的形狀，然後呢？這能幫我解什麼題？我以為數學是用來解題的。所以這期影片想說明的正是，這些構造遠不止手工課上的紙帶遊戲，它們在某類問題裡會非常自然地冒出來，而且冒出來的方式很漂亮。 製作過程本身也有意思。這個拓撲論證非常抽象，而且是非構造性的。他當時用的是 macOS 自帶的 Grapher 畫三維曲面，必須額外做大量工作才能讓那個曲面真的出現在螢幕上。但一旦畫出來，他發現自己根本沒法預料它長什麼樣。 > 看起來像悉尼歌劇院，或者弗蘭克·蓋裡的某種設計。你知道它一定有點樣子，你能說出它的一些性質，它和那條曲線相接，它的邊界就是平面上那條曲線，整體都懸在平面之上。但在真正畫出來之前，你完全不知道它會是什麼樣。看到的那一刻，單純就是舒服。（格蘭特·桑德森） 他說那種滿足感來自一個事實：原論文的論證很美，但你不知道它長什麼樣，而“螢幕上必須出現一張圖”這個強迫函式，逼他補上了原論文沒有的那部分。 ## 那個說“這很爛”的聲音，是他過去的自己 Lex 問他創作流程：選題、寫敘事、配視覺化，哪一段最煎熬。 Grant 說最痛苦的情況是，題目是你真想做的，但指令碼結構怎麼都想不出來。他有一期已經卡了兩三個月。他覺得正確的處理方式是先放一邊，去做那些指令碼自然就流出來的題目。**因為敘事是不能硬磨的，你對它想得越多，就越難共情那個還沒聽懂的學生。** 於是 Lex 問了那個很有意思的問題：你腦子裡那個評判者是誰？那個說“這很爛”或者“這個可以”的聲音，是什麼？ Grant 說，是他過去的自己。那是他唯一真正瞭解的人，你瞭解的其實只有自己的各個版本。所以他先取出那個還不懂這件事的自己，然後用新鮮的眼光去看一段指令碼、一個畫面：這東西有動機嗎？講得通嗎？ 這個方法的副作用他也承認了。他做了四元數那期，真正想搞清楚的是：四元數在四維空間裡到底在做什麼？能不能看見？他找到了一種能讓自己滿意的解釋方式，用三維視覺化把四元數對四維球體做的事講清楚了。他很滿意，因為這正是過去的自己想要的。 但事後看，大多數想學四元數的人是機器人工程師或者圖形程式設計師，他們想懂的是怎麼用四元數描述三維旋轉。需求和過去的他並不一樣。**他不會把那期影片推薦給這類人**，會建議他們去看別的資源，除非某天他們突然想知道“等等，它們到底怎麼在四維裡起作用”，那時候再回來。 神經網路那期是另一個例子。同一個概念可以從物理、神經科學、機器人學、統計學等角度切入，每個角度都能做出一期好影片。他說自己關於尤拉公式已經做了三期，還會再做至少一期。 ## 如果永生，你會要嗎 話題拐到了死亡上。Lex 說他覺得有限性是意義的關鍵：事情會結束，才讓它有意義。他甚至舉例，這個房間四十分鐘後就關門，所以他更愛這個房間。 Grant 的回應很誠實：如果給他永生，他會要。他承認自己人生裡只有很小一部分時間能意識到死亡這件事。可他大部分時間都很有動力去做東西、去和人相處、去體驗愛。**這種動力是在死亡完全不在腦子裡的時候產生的**，這有點奇怪。也許是因為他還年輕，也許那東西在潛意識裡，也許他構建了一個幻覺，讓自己可以透過享受當下繞開必死這件事。 Lex 半開玩笑地說，後者就是那種存在主義式的活法。Grant 說：如果拿槍指著頭逼我答，我不覺得是那樣。 中間有一段很好玩的交鋒。Lex 說自己有點俄羅斯血統，所以偏憂鬱，可能高估了苦難和死亡的價值，但這能寫出更好的小說，因為你需要某種存在性的威脅來推動情節。Grant 說，只要你不永生，數學裡永遠有足夠多的謎和樂趣，問題冒出來的速度遠快於答案冒出來的速度。 Lex 一直在旁邊推，Grant 最後說了一句可以直接拿去做簽名的話： > 就因為你是在釣我，不代表我錯了。（格蘭特·桑德森） ## 怎麼判斷一個影片做完了 這個問題 Grant 說很簡單。指令碼要先寫好，裡面得有一個“啊哈”的時刻，最好整個指令碼都圍繞這個時刻展開。然後給每一句話配畫面，配音，剪輯。有了指令碼，終點就清楚了。動畫過程中他會改措辭，偶爾也改結構，但那時候已經是個相當確定性的流程。 難的是判斷指令碼什麼時候寫完。解題類影片相對簡單，你覺得一個原本不懂的人現在能懂了，就完了。像神經網路那種就麻煩得多，因為你有一堆切入角度。標準變成了：這個指令碼提出了一個有意義的問題，並且回答了它。 ## 學數學最實際的一條建議：多做習題 Lex 問，對剛開始學數學的人，或者職業中途想重新撿起來的人，有什麼建議。 Grant 說，你的本能會驅使你花更多時間看講座、看書。你要強迫自己去做比本能願意做的更多的題。專注的時間應該花在解具體問題上，而且要去找那些題目被精心編排過的資源。 他給了一個很具體的操作：先翻到一章後面的習題，快速掃一遍。大部分你現在看不懂，沒關係。但總有幾個你能看懂的，**那幾個就是你現階段最該想的題**。然後回頭讀一點正文，再回來看題。在真正動手做完幾道題之前，不要認為這一章學完了。 然後他承認這有點虛偽，因為他自己發的影片幾乎從來不配習題。他把自己定位成生態裡的另一個環節，這等於承認：光看影片，學習只完成了一部分。 對完全零基礎的人，他推薦 Khan Academy，題庫足夠大，可以從最基礎的線性代數、微積分開始。另一個路徑是學程式設計，讓程式設計裡的動機推著你往前走。他說自己認識很多原本不喜歡數學的人，是透過程式設計對數學開竅的。他承認這可能是因為他住在灣區，樣本有偏，但他願意賭這條路更普適。 關於“教是最好的學”，他提到聽過一組數字：讀過的記住 10%，聽過的記住 20%，主動參與過的記住 70%，教過別人的記住 90%。他說這些數字可能沒有嚴謹出處，但它們感覺很對。**如果換成教，學習效率可能比讀高九倍，這個估計甚至可能還保守了。**所以去做點什麼來教別人，或者主動試著把一件事講清楚，對鞏固知識的作用巨大。 ## 音樂、那本小書，和一句費曼的話 快結束時，Grant 提到音樂曾經在他生活裡佔很大比重。他說起一個真正開心的時刻：他和哥哥、一個朋友在滑雪場做了一場演出。觀眾要坐纜車上山頂，他們就在那兒演奏。下山的時候坐在纜車裡，幾個人又即興玩了起來，彈著玩著，纜車翻過山脊，城市的燈火一下子鋪在下面。 他說他不會把那一刻描述成“transformative”（有轉換性的）。他說不清為什麼，但那個畫面就是冒出來了，跟身邊的人關係不大，起作用的好像就是那件事本身，那種單純的、很高興的感覺。他說自己沒辦法給這個時刻一個更深的解釋。 Lex 說，作為一個也做音樂的人，他很想看到音樂重新回到 Grant 的創作裡。Grant 答應了，說 2020 年底之前一定做一個音樂影片，給自己留個長一點的視窗。他主修小提琴，吉他和鋼琴也喜歡瞎玩。Lex 說自己也彈吉他和鋼琴。 然後 Lex 引了 Paul Lockhart（保羅·洛克哈特）《一個數學家的嘆息》（A Mathematician's Lament）開頭那句話：首先要理解的是，數學是一門藝術。數學和音樂、繪畫等其他藝術的區別在於，我們的文化不承認它是藝術。Lex 說他代表幾百萬人，包括他自己，謝謝 Grant 把數學的藝術性展示出來。 Grant 說：哇，謝謝你這麼說。 ## 這場對話這場對話裡，最值得帶走的幾件事 整場對話沒有一句推銷，Grant 也沒有一次試圖把數學說得比它本身更玄。恰恰相反，他花了大量時間在拆解那些被神化的東西：尤拉公式沒那麼美，e 的記號是歷史的偶然，教科書從公理出發的講法反認知，他自己的影片也不能讓你真正學會數學。 把這些碎片拼起來，有一條主線很清楚：**數學的困難，很大一部分來自表達方式，數學本身倒沒那麼難。** 記號是表達，教科書的結構是表達，先講定義再講例子是表達。這些選擇在歷史上都有它的道理，e 之所以寫成自乘，是因為人類第一次遇見它是在複利和人口增長裡；線性代數之所以從公理開始，是因為那是整理知識最經濟的方式。“整理知識最經濟”和“讓人理解”經常衝突，衝突的時候吃虧的永遠是學習者。 Grant 做的事情，本質上是在糾正這個偏差。他每一次都往更具體的方向走，往能畫出來、能算出來、能看見的方向走。這算不上把數學變簡單，更像是把通往數學的路修平了一點。 另一條線是關於美。他說最美的東西往往是你只理解一半的東西，那點殘留的神秘感就是美的來源。他對 Zeta 函式的形容是“我還在和她約會”，有那種高多巴胺的部分。他對尤拉公式的形容是“過了約會期，現在看她頭髮亂糟糟的，眼下有黑眼圈”。 兩種關係都是真的，但只有前一種讓人想拍影片。**他做影片的驅動力，可能更多來自“我好像摸到了一點，我想看看它到底是什麼樣子”，而非“我懂了，我講給你聽”。**那個拓撲影片就是最好的例子：他必須把曲面畫出來才能知道它長什麼樣，而這個“必須畫出來”的約束，反過來讓他補上了原論文沒有的東西。 還有一條，關於學習。他說的那句話很樸素：你的本能會讓你多看、多聽，你要強迫自己多做。看講座和讀教科書的舒適感是真實的，學習卻不在那裡發生。學習發生的時候，你正盯著一道做不出來的題，不知道下一步該幹什麼。 最後，那個“教是最好的學”的說法，即便那組百分比是編的，邏輯也站得住。**被動接收是線性的，主動輸出是指數的。**你試著把一件事講清楚，講到別人能聽懂，你會清楚看到自己在哪一步其實是虛的。 ## 如果你想把數學重新撿起來 - 拿到一本教材，先翻到章節末尾的習題快速掃一遍，挑出那幾道你現在能看懂題意的。它們就是你的起點，不用等讀完正文。 - 給自己定一條硬規矩：每讀完一節，必須動手做完至少兩道題。做不出來也算做完，但要在紙上留下你嘗試的痕跡。 - 如果你本來會程式設計，從程式設計的角度切入數學。實現一次向量旋轉、寫一遍矩陣乘法、把傅立葉變換跑起來看到頻譜，比讀十頁定義管用。 - 遇到一個概念，先自己找一個最小的具體例子：一個具體的函式、一組具體的數字、一支畫出來的箭頭。抽象定義留到你有直覺之後再回來看。 - 試著把這個概念講給別人聽，或者寫下來。講的過程中卡住的地方，就是你真正沒懂的地方，回去補那一塊。 - 對“最美公式”這類說法保持一點懷疑。任何一個讓你覺得神秘的東西，先問一句：會不會是表達方式的問題？換成另一種寫法，它是不是就變得平淡了？ - 給自己留一點沒弄懂的東西。不必把每個謎都解開，留著它，你才有動力繼續往那兒走。