# 吉爾伯特·斯特朗：線性代數、深度學習、教學與 MIT 公開課

> MIT 線性代數教授談數學教學的方法、深度學習背後的線性代數，以及公開課如何影響全球學生。

- 原標題：Gilbert Strang: Linear Algebra, Deep Learning, Teaching, and MIT OpenCourseWare
- 期數：特別節目
- 釋出日期：2019-11-25
- 嘉賓 / 主題：吉爾伯特·斯特朗
- 網頁版：https://lex.qiaomu.ai/tw/ep/gilbert-strang/
- 官方頁面：https://lexfridman.com/gilbert-strang/
- 精讀字數：約 6248 字（閱讀約 14 分鐘）

> 本文為 lex.qiaomu.ai 基於原始訪談的 AI 改寫中文精讀，非官方翻譯；引用請註明出處並連結網頁版。

2019 年，一位 84 歲的老教授錄了一段線性代數課。這門課後來被幾百萬人看過，其中包括當時還在讀本科的 Lex Fridman。畫面裡沒有動畫，也沒有互動式課件，只有一塊黑板、一支粗粉筆，和一個把矩陣講得像故事一樣的人。

這位教授叫 Gilbert Strang（吉爾伯特·斯特朗），MIT 數學系教授。他在訪談裡說了一句挺實在的話：影片能火，功勞大部分線上性代數這門學科本身，過去幾十年它的重要性暴漲了。資料來了，而資料天生就是矩陣的形狀。

## 那門課的開頭，是一塊黑板和一支粗粉筆

Strang 提到自己只用一種粉筆，就是那種特別粗的、寫在黑板上會發出明顯聲音的粉筆。他說別人喜歡，他自己也喜歡，別的粉筆他不用了。

這個細節其實說明了一些事情。18.06 這門課的錄影就是課堂實況，沒有重錄，沒有剪輯，沒有為鏡頭重新設計板書。他在 2000 年前後錄的，因為這門課他教過很多遍，結構已經理得很順，講起來自己也享受。

MIT 公開課（MIT OpenCourseWare）這件事的起源，他講得很輕鬆。當時校長韋斯特（Charles Vest）任命了一個委員會，本來的任務是研究怎麼把 MIT 的課程像其他大學那樣包裝、營銷出去。委員會討論了一個週末沒找到路子，回來跟校長說：要不我們乾脆全部免費送出去？校長說，行。

> 如果把大學看成一個生產產品的機構，知識就是它的產品。把產品免費送人，聽起來是瘋了。（Gilbert Strang）

但這個決定後來證明是對的。Strang 的解釋是，MIT 的名聲建立在硬核技術上，而公開課是展示「MIT 到底是什麼樣」最直接的方式。它跳過了宣傳冊和排名的套路，直接把課堂擺到全世介面前。

這裡還有一層值得留意的差別。宣傳冊講的是結論，課堂展示的是過程。一個人坐在螢幕前看斯特朗推著粉筆一步一步把矩陣拆開，學到的東西遠不止知識點，還包括一個做數學的人怎樣思考、在哪裡停頓、什麼時候說「這裡其實很簡單」。講授本身的節奏，也是教學內容的一部分。

## 四個子空間：他這輩子最得意的一個教學設計

問到他最喜歡的教學內容，他挑的東西一點都不高深：四個基本子空間。

他特意說明，這個概念在他命名之前早就存在了，他只是把它組織成了一個好講的框架。矩陣就是一堆排成矩形的數字，有若干列，也有若干行。列和行用的是同一批數字，所以它們之間必然有關係。但這種關係不簡單：列可能比行多，數字被打亂了次序。

第一個空間是列空間。把矩陣的每一列看成一個向量，也就是高維空間裡的一個點。把所有列的所有線性組合放在一起，會得到一個平坦的曲面。在三維裡它就是一張紙，在十維裡它依然是一張「紙」，只是沒法畫出來。

第二個空間是行空間，來自同一批數字，但組合的是行。

另外兩個空間和它們垂直。三維空間裡有一張平面，垂直於它的是一條直線。對應到矩陣上，就是零空間和左零空間。

四個空間拼在一起，構成了一個矩陣的完整結構圖。Strang 說這個想法本身好懂，在 18.06 裡出現得很早，但他自己挺驕傲，因為這張圖能把一個矩陣的行為解釋清楚。

這裡有個更值得琢磨的點。他在課上會直接跟學生說，他自己腦子裡也沒有十維向量的箭頭影象，誰都畫不出來。可你不需要影象也能做運算：兩組十個數可以相加，一組十個數可以乘以 3。會做這兩件事，你就在十維空間裡做線性代數了。

> 我沒法說自己腦子裡有畫面。但我還是會把課堂往那個方向推，讓他們去想十維空間裡的一張平面。（Gilbert Strang）

這句話背後有一個反常識的推論：數學直覺未必是視覺性的。人可以在完全沒有影象的情況下熟練操作高維物件，靠的是對規則的手感。畫不出十維空間的箭頭，跟做不了十維線性代數，是兩回事。

## 為什麼線性代數比微積分簡單，卻排在它後面教

Strang 有個說得挺直白的觀點：線性代數本該先教。

理由是這樣的。微積分所有的複雜性都來自曲線，來自彎曲的曲面。線性代數里一切都是平的，沒有任何彎的東西。平的東西不會讓你出錯，從二維推到十維、一百維，一路順下去。

但教學順序是反的。牛頓和萊布尼茨先搞出了微積分，所以高中開 AP 微積分，大學一年級還是微積分。線性代數被排到後面，甚至很多工科生到大二大三才第一次正經接觸。

他在訪談裡說得更重一點：本科數學教育裡，微積分佔的課時和關注度是「不成比例的」，代價是代數和機率統計被壓縮了。

他把今天的本科數學分成三塊：微積分、線性代數與矩陣、機率與統計。三塊都該有重要位置，但微積分長期拿走了最大的那份。

這個判斷放在 2019 年說，是有現實依據的。資料以矩陣形式出現，而處理資料的方法幾乎全部長線上性代數上。石油工程的模型、氣候模型、醫學試驗、推薦系統，輸入都是矩形數字陣列。反倒是微分方程那套語言，在資料科學裡用得少。

他也沒有主張把微積分趕出去，只是希望份額調一調。一門學科的教學時間分配，往往滯後於這門學科的實際使用方式幾十年，調整起來比想象中慢。

## 奇異值：給資料科學家的一條實用建議

問到他覺得最美的概念，他先提了特徵值，然後馬上轉向奇異值（singular values）。

原因很實在：特徵值只對方陣有效，而真實資料幾乎都是長方形的矩陣。一百個病人乘五十種藥，這個矩陣不是方的，特徵值用不上。奇異值可以。

奇異值的核心是一個分解定理：**任何矩陣，不管是方的還是長的，都能寫成三個簡單矩陣的乘積，即旋轉、拉伸、再旋轉。**

旋轉好想象。二維空間繞著中心轉，三維空間裡飛行員要記三個轉向軸，十維空間有十種轉法，但「轉」這件事本身你能看見。拉伸也好想象，就是沿某些方向拉長或壓扁，其餘方向全為零。

一個塞滿數字、看不出規律的矩陣，被拆成「轉、拉、轉」之後，就變成了人腦能處理的東西。這是 Strang 覺得漂亮的地方。

他給資料科學家的建議很直接：把矩陣分解成若干部分，第一部分是最重要的資訊，第二部分是第二重要的，往後排。很多情況下，找到前一兩項就可以停了，剩下的部分是實驗誤差或者浮點舍入的噪聲。

> 如果資料科學家能找到第一項和第二項，就在那裡停下。剩下的資料大機率是舍入誤差，或者是實驗誤差。（Gilbert Strang）

他還順帶說了句對數學系同行的抱怨：趕緊教奇異值，別隻教特徵值。這句話聽著像玩笑，但指向的問題是真的。很多課程花大半學期講特徵值和特徵向量，只因為它們在理論上更整齊，學生畢業之後拿到一張長方形的資料表，手上一件稱手的工具都沒有。

## 神經網路在他看來，是一堆折起來的平面

談到深度學習，他沒有繞開，直接給了定義。

你有一百萬組輸入和對應的正確輸出，任務是找一條規則，把訓練輸入對映到已知輸出，然後用這條規則去預測沒見過的新輸入。神經網路就是構造這條規則的一種結構。

線性代數在這裡面佔大頭，但只有線性代數不夠。矩陣只會畫直線和平面，而資料不長這樣。所以必須引入一點非線性。

他講的這個非線性函式極其樸素：一條直線，到某個點折一下，換成另一個斜率。就是一個折線，一個「彎折」（fold）。

> 它只是把一條直線折了一下，但當你把這個摺痕重複上百萬次，你就得到了一個足夠複雜、足夠貼近真實的函式。（Gilbert Strang）

這個類比他很喜歡用：一棟造型極其複雜的房子，屋頂每個區域性都是平的，但整體彎彎曲曲。工程界早就在用這個思路，叫有限元方法（finite element method）。設計橋樑、設計飛機、設計建築，用的都是「分片平坦」作為可計算的近似。

所以神經網路的表達能力為什麼強？因為折的次數足夠多。這也是他理解的極限所在：過去人們以為限制在算力，算力不夠就做不了更復雜的曲面。但算力一直在漲，這條線一直在往外推。

順著這個思路還能往下走一步。**如果神經網路本質上是一種分段線性的逼近器，那它的長處就落在連續、光滑、有區域性規律的對映上。**影象、語音、感測器讀數，都是這種型別。至於那些需要嚴格邏輯推理、需要長鏈條符號操作的任務，分片平坦的近似能不能撐住，就是另一個問題了。這個判斷在 2019 年說出來還是開放的，今天回頭看，正好點在了要害上。

## 關於「能不能學到東西」這個前提

訪談裡有一段討論，值得單獨拎出來。

Lex 問的是：這個世界在多大程度上可以被這種方式表達？

Strang 的回答把深度學習放回了科學史裡。如果資料完全是隨機數生成的，那就沒有規則可學，因為壓根沒有規則。深度學習的成立前提是：資料裡存在訊號。

他把這件事和一個更古老的圖景放在一起看。牛頓找到了力學定律，愛因斯坦往前走了一步，石油工程師知道油會怎樣停留在地下盆地。這些人是在**推導規則**。而人工智慧換了個做法：不去推導，讓機器去搜尋規則。

> 新的想法是讓計算機自己去搜尋規則，從前那套請牛頓、請愛因斯坦把規則想出來的路子，被繞過去了。這是又往前走了一步。（Gilbert Strang）

他的態度是謹慎樂觀。隨機性裡面也有用處，隨機初始化、隨機梯度下降都用得上，但資料裡得有基本的結構，得有訊號。全是噪聲，什麼也學不出來。

這個判斷聽起來平常，但從一個教了一輩子線性代數的人嘴裡說出來，分量不太一樣。他見過太多矩陣，知道什麼樣的矩陣裡有結構，什麼樣的沒有。現代深度學習的成功，被他歸到「碰巧撞上了有訊號的資料」這個前提上，而非歸到演算法本身有多神奇。

## 他最喜歡的矩陣，和二階導數有關

問他最喜歡的矩陣是哪個，他給出的答案是：對角線上全是 2，緊挨著上下兩條對角線上全是 −1，其餘位置全是 0。

這個矩陣看起來平平無奇，就是三條非零對角線。但它出現的地方出奇地多，工程裡到處都是它。

它的意義在於：**在離散世界裡，它就是二階導數的對應物。**

一階導數衡量變化有多快，二階導數衡量變化本身變化有多快，也就是曲線彎得有多急。愛因斯坦的工作表明，理解空間必須用到二階導數。

Strang 由此得出一個結論：二階導數在微積分教學裡該有更大的位置。而它對應的這個矩陣，在 Strang 眼裡是「一切都會算得剛剛好」的那種優雅。

把一個連續物件換成離散版本，通常要付出代價，邊緣會出問題，精度會掉。這個矩陣好就好在代價極小：它保持對稱，保持正定，邊界條件乾淨地落在兩頭。所以做數值計算的人一看到它就放心。

## 他不喜歡考試，也不裝

有一段回答挺打動人的。他說自己算不上好老師，因為他不喜歡考試那一部分，出題、評分、給 A 還是 B，他做只是因為職責所在。

他會在開學第一節課跟學生說：我來這裡是教你們數學的，不會給你們打分。他說學生多半不信，心裡想的還是這位老師最後會給 A− 還是 B+。

> 我告訴全班，我在這兒是教你們數學的，不是來給你們評分的。但他們心裡在想，他到底會給我 A− 還是 B+。（Gilbert Strang）

他把自己定位在「教」那一端，那是他覺得有意思的部分：第一次跟一個人講清楚矩陣是什麼。

Lex 追問：有沒有那種時刻，你從學生的眼睛裡看到他們被點亮了，不需要看成績單？

他的回答落到了具體的地方。教大課時，他能感覺到全班什麼時候真的懂了，那個時刻通常出現在講完四個基本子空間、講完線性代數基本定理那張關係圖之後。他說，那時候他覺得課堂「接住了」。

反面他也提到了。有些學生會說「我就是不擅長數學」，然後放棄。他的看法是，這多半要歸到過去的教學方式頭上，把人勸退了，跟能力上限關係不大。

> 別被勸退。這門東西太好了，錯過太可惜。（Gilbert Strang）

同一件事在兩個方向上都成立。好的講解能把人拉進來，壞的講解能把人推出去，而後者造成的傷害往往被誤認成天賦的差距。一個學生把「我不擅長數學」當成自我認知，可能只是因為某一年遇到了一位沒耐心的人。

## 數學為什麼讓人安心

訪談裡有一段特別日常的對話。Lex 問他數學給人帶來的那種確定感從哪來，他講了個小時候補牙的故事。

躺在牙醫椅子上，他就開始算 2 的冪：2、4、8、16，一直算到腦子開始疼。牙醫說，你在數數吧。

> 你知道自己在哪裡。2 乘自己 10 次是 1024，這件事誰算都是這個結果。（Gilbert Strang）

他自稱不是哲學家，也不裝深沉。他說自己就是個喜歡數字的人。這種確定性給了他一種近乎安慰的東西。

這段對話裡還有個問題挺有意思：數學是工具還是藝術？他的回答是兩者都是，而這正是數學的好處。你可以是藝術家然後喜歡數學，也可以是工程師然後使用數學。

他自己站在中間偏工程那一側，明確說自己不是藝術家型、哲學家型的人，雖然在訪談裡聽起來有點像。他真正享受的是教工程師，因為工程師要的是答案。

他還提了 MIT 數學系的一個現實：系裡多數人更喜歡教那些能抓住抽象概念的學生，而他對「想找答案的工程師」更自在。這不是降低標準，是另一種誠實。工程師會逼著講的人把每一步落到實處，講不清楚就過不了關。

## 國會里幾乎沒有工程師，他覺得這是問題

話題轉到了公共生活。Lex 提到當時的總統候選人楊安澤（Andrew Yang），口號是把 MATH 印在帽子上，Make America Think Harder。

Strang 順著說了句：國會議員裡幾乎沒有工程或科學背景的人，總統也不是。

> 我們需要對數字、對數量有感覺的人。你說這個導致那個，他們能看明白，這是無法否認的。（Gilbert Strang）

他自己有過一次近距離的經歷。大約 2000 年前後，他擔任美國工業與應用數學學會（SIAM）主席，被安排去眾議院的一個委員會講十分鐘數學。那次經歷讓他覺得有趣的地方是：在座的一位議員，當年上過他的課，來自新罕布什爾州。

他也很清楚那只是短暫的一段。他說那幾年數學在華盛頓還算有點存在感，後來別的事情佔了上風，數學又不那麼顯眼了。而今天華盛頓關心的議題裡有 AI，AI 的核心是數學，只是這層關係被藏起來了，像是換了一頂帽子。

這段閒聊其實連著前面的話題。一個社會對數學的耐心，和它在課堂裡給線性代數多少時間，處在同一條鏈條上。教得少，懂的人就少；懂的人少，做決策的時候就沒有人替數字說話。

## 他認同的那句話，來自費曼

訪談結尾，Lex 引了費曼的一句話作為收束：

> 拼命去學你最感興趣的東西，用最不守規矩、最不恭敬、最有原創性的方式。（Richard Feynman）

這句話和 Strang 講的東西其實對得上。他在訪談裡反覆講同一個意思：數學之所以讓人著迷，是因為那裡有秩序，東西不明擺著，但它是真的。這種「不明擺著但確實為真」，正是讓人願意學下去的動力。

2019 年錄下這段對話時，他 84 歲。他還在想新辦法講課，還在琢磨怎麼把線性代數基本定理講得更讓人信服。他說這是樂趣所在：某個瞬間你會說，哦，這樣行得通。

那門 2000 年錄的課，至今還有人點開。它靠的是把一件本來可以對所有人敞開的東西，真的敞開了。製作上的精良在這裡幾乎可以忽略不計，一塊黑板、一支粗粉筆，加上一個還想把話講明白的人，就夠了。

- 如果只打算學一門本科數學，從線性代數開始。它全是平的東西，從二維推到一百維不會翻車，而今天的絕大部分資料工作都建立在它上面。
- 學的時候別死磕幾何直覺。十維空間的箭頭你畫不出來，教授也畫不出來。會做兩件事就夠了：兩組十個數相加，一組十個數乘 3。抽象運算不依賴影象。
- 如果接觸資料，直接去學奇異值分解，別停在特徵值。真實資料是長方形的，特徵值只對方陣有效，這條工具你遲早要用上。
- 做資料清洗時先做一次分解，看前一兩項能解釋多少。剩下的部分如果很小，那就是噪聲，砍掉它比建模更省事。
- 想理解神經網路為什麼有效，別從反向傳播公式入手。先想清楚一件事：把一條折線重複上百萬次，能擬合出多複雜的形狀。
- 如果你曾經斷定自己「不擅長數學」，先懷疑一下過去那個教你的人。放棄通常是教學方式造成的，跟能力上限關係不大。
- 找一位還在享受自己講的東西的老師。Strang 說的原話是，那種樂趣就在「哦，這樣行得通」的那一刻。