# 陶哲轩：数学与物理中最难的问题，以及 AI 的未来

> 数学家陶哲轩谈当下最棘手的数学与物理难题，以及 AI 会如何改变数学研究与证明的方式。

- 原标题：#472 – Terence Tao: Hardest Problems in Mathematics, Physics & the Future of AI
- 期数：第 472 期
- 发布日期：2025-06-14
- 嘉宾 / 主题：陶哲轩
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- 官方页面：https://lexfridman.com/terence-tao/
- 精读字数：约 22467 字（阅读约 50 分钟）

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2016年，陶哲轩发表了一篇论文，标题里有四个字：有限时间爆破。他改造了纳维-斯托克斯方程的一部分，让它在一个虚构的物理规则下，把流体的所有能量在有限时间内逼进一个点。

这看起来像在搞破坏。他实际做的事情是排除一种可能性：如果有人想证明流体永远不会爆破，有一条路已经被堵死了。

## 一根针掉头的谜题

1918年，日本数学家挂谷宗一提出了一个问题：一根无限细的针在平面上掉头，最少需要多大面积？

你可以在原地旋转它，扫出一个圆，面积是四分之π。也可以像驾校教的三点掉头那样操作，面积缩小到八分之π。很长一段时间里，人们以为这就是最优解。

然后贝西科维奇出现了。他证明，你可以用任意小的面积完成掉头，0.01 也行，0.0001 也行。操作方式是一连串精巧的前后摆动，让针扫过每一个中间方向，占用的总面积趋近于零。

二维的情况彻底搞清楚了。三维呢？

陶哲轩打了个比方：假设哈勃望远镜是一根管子，你想让它看到宇宙中每一颗星星，也就是指向每一个方向。空间当然是免费的，他假设空间极其宝贵，你想用最小的体积完成这件事。如果望远镜的厚度是零，答案和二维一样，任意小都行。如果望远镜有一个很小的厚度 delta，最小的体积是多少？

猜想是：体积下降得极慢，大致是对数级别。这个猜想经过大量工作后被证明了。

一个关于针头掉头的谜题，值得花几十年去研究吗？它和偏微分方程、数论、几何、组合数学都有意想不到的联系。

水波可以一开始非常分散，然后在某个时刻聚焦到一个点。把时间反演，波纹会从四面八方汇聚，然后发生一次巨大的溅射，甚至可能产生奇点。几何上发生了什么？光沿着光线传播，所有光子都在同一个点汇聚。如果挂谷猜想有一个否定的解答，就意味着可以非常高效地把指向不同方向的管子塞进一个极小的体积。对应的物理后果是：可以构造出大量在时空中的集中，波的振幅变得如此之大，以至于支配它们的方程不再是波动方程，变成了更复杂的非线性方程。

## 一百万美元的问题

纳维-斯托克斯方程描述了水和空气这样的流体的运动。克雷数学研究所把它列为七个千禧年大奖难题之一，解出一个给一百万美元。七个问题里，目前只有一个被解决，庞加莱猜想。

纳维-斯托克斯的核心问题是：如果你从一个光滑的水流速度场出发，它会不会在某个点变得无限大？也就是产生奇点。

现实中我们没见过这种事。你在浴缸里拍水，水不会爆炸，也不会以光速飞出去。数学上，它是否可能？

陶哲轩说，这正是数学家和绝大多数人的区别。如果一件事在 99.99% 的情况下成立，对大多数领域来说就够了。数学家关心的是，是不是 100% 的所有情况都被覆盖了。

为什么证明这件事这么难？陶哲轩的短回答是：麦克斯韦妖。

盒子里有两种气体，氧气和氮气，一开始氧在一边，氮在另一边，中间没有隔板。它们会混合，然后保持混合。没有理由让它们重新分开。原则上，因为分子之间的大量碰撞，可能存在某种诡异的共谋，一个微观的麦克斯韦妖，每次氧和氮碰撞时都让它们以特定的方式弹开，让氧慢慢漂到一边，氮漂到另一边。这种配置出现的概率极低，低到我们永远看不到，数学上它是可能的，而我们无法排除它。

这个现象在数学里到处都是。π 的数字看起来没有规律，我们相信它们没有规律，长期来看 1 和 2 出现的频率应该差不多。也许 π 的数字里藏着一个妖，每次你计算更多位数，它就让某个数字偏多一点。这种共谋不应该发生，没有理由发生，以我们目前的技术，无法证明它不发生。

回到流体。流体有能量，因为流体在运动，能量会被输运到各处。水有黏性，如果能量分散在很多位置，黏性会把它耗散掉，能量归零。这是我们实际观察到的：你搅动水，产生湍流和波浪，最终它会平静下来，速度越小越平静。

也许存在某种妖，不断把能量推向越来越小的尺度，让流体运动得越来越快。速度越快，黏性的相对效果越弱。于是可能出现一种自相似团块的情景：能量从大尺度转移到一个小区域，然后以更快的速度转移到更小的区域，每次耗时大约是上一次的一半。这样下去，所有能量会在有限时间内集中到一个点。

有限时间爆破。

现实中不会发生，因为水是湍流的。一个大涡旋会分裂成小涡旋，它会把能量传给三四个小涡旋，然后它们再各自分裂。能量被分散到黏性足以控制一切的程度。如果能量能被某种方式集中起来，保持在一起，而且速度足够快，让黏性来不及平息它，爆破就可能发生。

> 如果有 10 件事让你的生活变得困难，找一个版本的问题，关掉其中 9 件，只留 1 件，然后解决它。（陶哲轩）

## 数学家可以修改物理定律

过去有很多人尝试证明纳维-斯托克斯方程的全局正则性，也就是速度永远保持光滑，不会爆破。全都失败了。总有一些符号错误或细微的疏漏，无法补救。

陶哲轩想做的事情不一样。他想解释为什么我们无法否证有限时间爆破。

真实的流体方程太复杂，他做不到。如果能把方程平均化，关掉某些水相互作用的方式，只保留他想要的那些。比如流体可以把能量从大涡旋传给这个小涡旋或那个小涡旋，他关掉通往其中一个的通道，只让能量流向另一个，同时保持能量守恒。

他工程化地制造了一个爆破，方式是改变物理规则。这是数学家被允许做的事情之一：修改方程。

这怎么帮助证明？它提供了一个障碍。通常关掉某些相互作用会让方程变得不那么非线性，更规则，更不容易爆破。他发现，通过关掉一组精心设计的相互作用，他可以强迫所有能量在有限时间内爆破。这意味着，如果你想证明真实纳维-斯托克斯方程的正则性，你必须用到真实方程中他的虚构方程不具备的某个特征。这就排除了一整类方法。

数学不只是拿起一个能用的技术去用，还要不去用那些不能用的技术。对于真正困难的问题，你可能会想到几十种方法似乎都适用，只有积累了大量经验之后，你才意识到这些方法根本行不通。有了这些反例，你就不用浪费精力在那些已经被证明不可能成功的事情上。

这里的关键概念是超临界性。偏微分方程常常是不同力量之间的拔河。纳维-斯托克斯里，耗散力来自黏性，线性，让一切平静下来。如果只有黏性，什么坏事都不会发生。还有输运项，能量可以从一个位置被流体运动带到另一个位置，这是非线性效应，也是所有麻烦的来源。

如果耗散项占主导，你得到正则性。如果输运项占主导，我们不知道会发生什么。湍流，不可预测。

有时候这两种力在小尺度上平衡，在大尺度上不平衡，或者反过来。纳维-斯托克斯是超临界的：尺度越小，输运项比黏性项强得多。这就是问题困难的原因。二维情况下，苏联数学家拉德任斯卡娅在 60 年代证明了不会爆破。二维的纳维-斯托克斯是临界的，输运和黏性的效果即使在极小的尺度上也大致相同。我们有大量技术处理临界和次临界的方程，证明正则性。超临界方程，情况不清楚。

陶哲轩做了大量工作，后续也有很多研究，表明对于许多其他类型的超临界方程，你可以构造各种爆破的例子。一旦非线性效应在小尺度上压倒线性效应，各种坏事都可能发生。

这也解释了为什么我们能预测行星运动几百万年，却无法预测两周后的天气。行星运动容易处理，你可以把行星近似成质点，整体行为才重要。天气是超临界方程，在极细的尺度上有大量奇怪的事情发生。你不能只说洛杉矶的温度是这个，风速是那个，你必须知道每一个微小尺度的信息。

## 用水造一台图灵机

陶哲轩有一个更疯狂的想法：构造一台液体计算机，然后用停机问题来证明流体动力学的某些结论。

这个想法来自他构造平均方程爆破的工作。最朴素的做法是每次能量到达一个尺度就立刻把它推到下一个尺度。这在五维及以上行得通。在三维，出现了一个奇怪的现象：如果你总是试图把能量推到越来越小的尺度，能量会同时分散到许多尺度上，每一层都留下一些能量。这反而让黏性有机可乘，把一切耗散掉。直接爆破在三维不成立。

他需要的是一个延迟机制，像气闸一样。能量在一个尺度上运作，被推到下一个尺度，在那里等着，直到大尺度的能量全部转移过来。然后才打开下一道闸门，继续推。这样能量一次只集中在一个尺度上，不会被分散，就能抵抗黏性。

为了做到这一点，他构造了一个相当复杂的非线性项。它的构造方式像电子电路。他感谢他的妻子，她是电气工程师，跟他讲过设计电路的事情。如果你想要一个电路做某件事，比如让一个灯闪烁，你可以用更基本的元件，电容、电阻，搭出来，画一张图，然后顺着图就能看出电流会在这里积累，然后停止，然后做下一件事。

他知道怎么构造电阻和电容的数学类比，然后把它们堆叠起来，创造出能打开一道闸门的东西。有一个时钟，当时钟到达某个阈值，闸门关闭。这变成了一个鲁布·戈德堡式的机器，用数学描述。这个办法最终成功了。

他意识到，如果同样的构造对真实的流体方程也成立，如果水的方程支持计算，那么你可以想象一种蒸汽朋克，不，应该是水朋克的东西。现代计算机是电子的，由电子通过极细的导线，与其他电子相互作用。你可以想象，用具有一定速度的水脉冲代替电子。也许有两种配置对应于比特的 0 和 1。如果两个运动的水体碰撞，它们会以某种新的配置出来，就像与门或或门，输出以非常可预测的方式依赖于输入。你可以把这些串联起来，也许创造一台图灵机。然后你就有了完全由水构成的计算机。

如果有了计算机，也许你可以做机器人，液压之类的东西。你可以创造一台机器，本质上是流体版的冯·诺依曼机。

冯·诺依曼提出，如果你想殖民火星，把人和机器运过去的成本高得离谱。如果你能运送一台机器到火星，这台机器能够采矿，制造材料，冶炼，然后建造更多自己的复制品，你就能逐渐殖民整个星球。

如果你能造一台流体机器，一个流体机器人。它的使命是创造一个更小的自己，处于某种冷状态，还没启动。一旦准备好，大的水机器人配置会把所有能量转移给小的配置，然后关机。然后它清理自己，留下的是最新的状态，它会启动，做同样的事情，更小更快。方程有一种缩放对称性，一旦你做到这一点，它就能不断迭代。原则上，这会对真实的纳维-斯托克斯方程造成爆破。

这就是他为平均纳维-斯托克斯所完成的事情。它提供了一张解决这个问题的路线图。当然，这是白日梦，因为要实现它，缺失的东西太多了。他造不出这些基本的逻辑门，没有这些特殊的水配置。有一些候选者，包括涡环，可能行得通。模拟计算比数字计算麻烦得多，总是有误差，你需要大量的纠错。他也不知道怎么完全关闭大机器，让它不干扰小机器的写入。原则上，一切都可以发生，不违反任何物理定律，所以这是这件事可能的证据。

还有其他团队在尝试让纳维-斯托克斯爆破，他们的方案远没有这么复杂。他们在追求更接近直接自相似模型的方法，虽然原样行不通，可能有更简单的方案。

数学很擅长发现看似完全不同的问题之间的联系，只要数学形式相同，就能建立联系。元胞自动机就是先例。最著名的是康威的生命游戏。一个无限离散网格，每个格子要么有细胞要么空。规则很简单，决定细胞如何演化。有时候细胞活着，有时候死掉。陶哲轩当学生的时候，屏幕保护程序经常跑这个，看起来非常混沌，有时候像湍流。后来人们在这个游戏里发现了越来越有趣的结构。

比如滑翔机。一个很小的配置，四五个细胞，会演化并沿某个方向移动。这就像涡环。

生命游戏是一个离散方程，纳维-斯托克斯是连续方程，数学上有相似的特征。随着时间推移，人们在生命游戏里发现了越来越多有趣的东西。它只有三四条规则，你可以设计各种有趣的配置。有一种叫滑翔机枪，什么都不做，只是一个个吐出滑翔机。经过大量努力，人们造出了滑翔机的与门和或门。一个巨大的、看起来很荒谬的结构，如果这里有滑翔机流进来，那里也有，可能会产生输出的滑翔机。如果两股都有，就有输出，如果只有一股，就什么都没有。一旦你能造出这些基本门，从软件工程的角度，你几乎可以造任何东西。你可以造图灵机，巨大的蒸汽朋克式的装置，看起来很可笑。人们还造出了生命游戏里的自复制物体，一台巨大的机器，经过漫长的时间，里面看起来像滑翔机枪在做这些非常蒸汽朋克的计算，它会创造出另一个自己，可以复制。

这些工作很多是业余数学家众包完成的。陶哲轩知道这些工作，这是启发他把同样的事情搬到纳维-斯托克斯的部分原因。模拟比数字差得多，你不能直接把生命游戏里的构造搬过来，它表明这是可能的。

这种涌现现象很有意思。局部规则在规模上创造出极其复杂的动态结构。陶哲轩指出，你只能在精心准备的初始条件下得到这些涌现的复杂结构。那些滑翔机枪、门、自走机器，如果你随便扔一些细胞上去，什么都不会看到。这和纳维-斯托克斯的情况类似：在典型的初始条件下，不会有任何奇怪的计算发生。通过工程，通过精心设计，你可以做出聪明的构造。

能不能证明只有通过工程才能创造有趣的东西？这是数学里反复出现的挑战，陶哲轩称之为结构与随机性的二分。数学中能生成的大多数对象是随机的，看起来随机。只有很小一部分有模式。证明某个东西有模式，你可以直接构造。如果某个东西有简单的模式，你能证明它每隔一段时间重复，你就证明了。比如你可以证明大多数数字序列没有模式。如果我们给你一个特定的模式，比如 π 的数字，你怎么证明它没有某种奇怪的模式？

陶哲轩花了大量时间证明所谓的结构定理或逆定理，给出测试某个东西是否非常有结构的方法。有些函数是加性的。如果 A 加 B 乘以 10 等于 A 乘以 10 加 B 乘以 10，这就是加性的。有些函数几乎加性但不完全加性。比如乘以根号 2 再取整数部分，10 乘以根号 2 大约是 14 点几，所以 10 映射到 14，20 映射到 28。这种情况下加性成立。因为取整，有时会有舍入误差，A 加 A 的结果不完全等于两个单独输出的和，是和加减一。它几乎是加性的，不完全。

数学里有很多有用的结果，如果函数表现出某种结构，那背后一定有原因。原因是存在另一个附近的函数，完全有结构，解释了这种部分模式。有了这些逆定理，就创造了一种二分：你研究的对象要么完全没有结构，要么与某种有结构的东西相关。无论哪种情况，你都能取得进展。

## 无限猴子与有限化

塞迈雷迪定理是这种二分的好例子。1970 年代证明，任何足够大的、具有正密度的数集都包含任意长度的等差数列。

比如奇数密度是二分之一，包含任意长度的等差数列。这很明显，因为奇数非常有结构。塞迈雷迪定理也适用于随机集合。如果随机保留一半的数，这个集合没有任何模式，仅仅因为随机涨落，你仍然会得到大量等差数列。

这就是无限猴子定理。如果有无限多只猴子在房间里打字，几乎必然，其中一只会生成《哈姆雷特》的完整剧本，或者任何有限长度的文本。只是需要很长时间，非常长的时间。

无限吸收了很多罪恶。

人类怎么理解无限？你可以把无限看作一个没有上界的有限数的抽象。现实中没有任何东西是真正无限的，你可以问，如果我有任意多的钱会怎样，如果我能任意快会怎样。数学家把这种理想化形式化了，与其说某个东西非常大或非常小，说它恰好是无限或零。数学在这样做的时候往往变得更干净。物理学里有个笑话，假设奶牛是球形的。现实世界的问题有各种现实世界的效应，你可以理想化，把某些东西送到无限，某些送到零，数学变得简单得多。

无限也有陷阱。有限个项相加，交换顺序没问题。无限个项，你可以玩把戏，一个级数收敛到一个值，重新排列后突然收敛到另一个值。你必须知道自己在做什么。需要引入 epsilon 和 delta，有一套严谨的推理方式帮你避免错误。

近年来，人们开始把无限极限下成立的结果有限化。你知道某件事最终会成立，不知道什么时候。现在给我一个速率。如果是一大群有限的猴子，要等多久才能看到《哈姆雷特》？这个问题更定量，可以用纯有限的方法攻击，用有限的直觉。结果是指数级的，取决于你要生成的文本长度。这就是为什么你永远看不到猴子创作《哈姆雷特》。你也许能看到它们创作一个四个字母的单词，再大就不行了。

陶哲轩个人觉得，一旦把无限陈述有限化，它就变得直觉多了，不再那么奇怪。缺点是有限化的版本混乱得多。无限版本通常先被发现，几十年后人们才把它有限化。

## 数学、物理、工程：三种看世界的方式

科学总体上涉及三样东西的互动：真实世界，我们对真实世界的观察，我们关于世界如何运作的心智模型。

我们无法直接接触现实。我们只有观察，观察是不完整的，有误差。很多情况下我们想知道明天的天气，我们还没有那个观察，我们想要一个预测。

我们有简化模型，有时做出不切实际的假设，球形奶牛之类的东西。这些是数学模型。

数学关心模型。科学收集观察，提出可能解释这些观察的模型。数学留在模型里，问这个模型的后果是什么，会做出什么预测，是否符合观察数据。

数学在其他学科中不寻常的地方在于，我们从假设出发，从模型的公理出发，问什么结论能从中得出。几乎所有其他学科，你从结论出发。我想做这个，我想建一座桥，我想赚钱，然后找通往那里的路径。很少有，假设我这样做了会怎样这种推测。规划和建模。推想小说也许是另一个地方，基本就这样了。我们生活中做的大多数事情都是结论驱动的，包括物理学和科学。他们想知道小行星会去哪里，明天的天气是什么。数学还有这个从公理出发的方向。

理论更强大还是实验更强大？你需要两者，自上而下和自下而上。随着时间推移，观察、理论和建模都应该越来越接近现实。一开始它们总是相距很远，你需要一个来找出往哪里推另一个。如果你的模型预测了实验没有预测到的异常，那告诉实验者去哪里找更多数据来改进模型。来来回回。

数学内部也有理论和实验的分量。直到最近，理论几乎完全主导。99% 的数学是理论数学，只有极少的实验数学。人们确实做，如果想研究素数，可以生成大数据集。有了计算机之后，我们做得多了一点。更早以前，比如高斯，他发现素数定理这个数论中最基本的定理，预测一百万以内、一万亿以内有多少素数。他做的事情是计算，大部分自己算，也雇了人类计算员，职业做算术的人，计算前十万个素数，做表格，做预测。这是实验数学的早期例子。

直到最近，理论数学成功得多。复杂的数学计算在最近之前根本不可行。即使现在有强大的计算机，只有一些数学东西能数值探索。

有一个东西叫组合爆炸。如果你想研究塞迈雷迪定理，研究 1 到 1000 的所有子集。只有 1000 个数，能有多难？结果是 1 到 1000 的子集数量是 2 的 1000 次方，比任何计算机能枚举的都大得多。有些数学问题很快变得无法用暴力计算直接攻击。国际象棋也是著名例子。棋局的数量，我们无法让计算机完全探索。现在有了 AI，有了工具来探索这个空间，没有 100% 保证成功，通过实验。我们现在可以经验性地解决国际象棋。有非常好的 AI，不探索博弈树中的每一个位置，找到了很好的近似。人们正在用这些象棋引擎做实验象棋。他们重新审视旧的象棋理论，这种开局是好棋，那种不是，用引擎来改进，有时推翻传统智慧。陶哲轩希望数学未来也会有更大的实验成分，也许由 AI 驱动。

在国际象棋的情况里，AI 并没有提供形式化的解释。它只是说哪个位置更好，人类可以从中直觉，然后构建理论。陶哲轩提到柏拉图洞穴寓言。人们观察现实的影子，相信他们观察到的就是现实。数学家和所有人类都在看影子吗？我们能否真正接触现实？

这三样东西，真实现实、观察、模型，技术上是不同的，陶哲轩认为它们永远会不同，可以越来越近。接近的过程常常意味着你必须抛弃最初的直觉。天文学提供了好例子。最初的世界模型是平的，因为它看起来平，很大，而宇宙的其他部分，天空，不是。太阳看起来很小。你从一个离现实很远的模型开始，它符合你现有的观察，看起来不错。随着你做出越来越多的观察，模型被拖着一起走。我们不得不认识到地球是圆的，会自转，绕太阳转，太阳系绕银河系转，宇宙在膨胀，膨胀在加速，今年还有证据表明加速本身不是恒定的。

我们有一个模型很好地拟合数据，只需要指定几个参数。人们说那是凑数因子，有足够多的凑数因子你可以解释任何事。数学上，你希望模型参数少，观察数据点多。如果你的模型有 10 个参数解释 10 个观察，那是完全没用的模型，叫过拟合。如果模型有两个参数解释一万亿个观察，这基本上就是暗物质模型，它有 14 个参数，解释天文学家 petabytes 的数据。

物理数学理论可以看作宇宙的压缩，数据压缩。你有 petabytes 的观察，想压缩成一个五页纸能描述的模型，指定一定数量的参数。如果它能以合理的精度拟合几乎所有观察，压缩得越多，理论越好。

宇宙可压缩这件事本身就是巨大的惊喜。爱因斯坦说过，宇宙最不可理解的事情是它是可以理解的。不只是可理解，你还能写出 E 等于 MC 平方这样的方程。

这有可能的解释。数学里有个现象叫普适性。许多复杂系统在宏观尺度上的行为来自大量微观尺度的微小相互作用。通常因为组合爆炸，你会认为宏观尺度的方程必须比微观尺度的方程复杂无限倍、指数倍。如果你想完全精确地解它们，确实如此。某些规律在宏观尺度涌现，几乎不依赖于微观尺度发生了什么，或者只依赖于很少的参数。想模拟盒子里 quintillion 个粒子的气体，你只需要知道温度和压强和体积，五六个参数，就能模拟几乎一切。我们对普适性的数学理解远不如我们希望的那样，有些简单得多的玩具模型，我们很好地理解为什么普适性会发生。最基本的是中心极限定理，解释了为什么钟形曲线在自然界到处都是，为什么那么多东西服从高斯分布。

有时候不是。如果许多输入都以某种系统性方式相关，你会得到远离钟形曲线的东西。知道中心极限定理什么时候失败也很重要。2008 年全球金融危机是著名例子。人们以为抵押贷款违约有高斯型行为，如果一切都去相关，十万美国人的违约比例会是一个漂亮的钟形曲线，你可以管理期权和衍生品的风险，有很美的理论。如果经济中有系统性冲击，能推动所有人同时违约，那就是非常非高斯的行为，这在 2008 年没有被完全考虑进去。现在人们对系统性风险是更大的问题有了更多认识，模型漂亮不代表符合现实。

## 刺猬与狐狸

陶哲轩以横跨数学众多领域的广度著称。菲尔兹奖得主蒂姆·高尔斯说他是最接近希尔伯特的人。

数学中有连接所有不同领域的线索吗？有深层结构吗？

确实有很多连接的线索。数学的很多进步可以表示为把两个之前没有联系的领域连接起来。一个古老的例子是几何和数论。古希腊时代，它们被认为是不同的学科。欧几里得两者都做，人们不觉得它们相关。直到笛卡尔发展了解析几何，你可以用两个实数参数化平面这个几何对象。几何问题变成了关于数字的问题。今天这感觉几乎是平凡的，平面就是 x 和 y，因为我们就是这样被教的，已经内化了。这个进展很重要，两个领域被统一了。这个过程在数学中一遍又一遍地发生。代数和几何曾经分开，现在我们有代数几何连接它们。

数学家有不同风格。刺猬和狐狸。狐狸知道很多事情，每样知道一点。刺猬知道一件事，知道得非常透彻。数学里两者都有，也有人能扮演两种角色。理想的合作需要多样性，一个狐狸和很多刺猬合作，或者反过来。陶哲轩认为自己主要是狐狸。他喜欢套利，学习一个领域怎么运作，学会那个领域的技巧，然后去另一个人们认为不相关的领域，但我能改造这些技巧。

有些数学家比他深得多，是真正的刺猬。他们知道一个领域的一切，在那个领域里快得多、有效得多。他能给他们额外的工具。

陶哲轩更适应狐狸范式。他喜欢找类比、叙事。如果他在一个领域看到一个结果，喜欢这个结果，不喜欢证明，用了他不熟悉的数学，他常常尝试用自己喜欢的工具重新证明它。通常他的证明更差，通过这个练习，他能看到原来的证明想做什么，从而理解那个领域的工具。非常探索性，在疯狂领域做疯狂的事情，经常重新发明轮子。刺猬风格更学术，知识驱动。你跟上一个领域的所有发展，知道所有历史，很好地理解每种技术的强项和弱点。更多依赖计算，而不是找叙事。他也能做，其他人非常擅长。

陶哲轩年轻时，数学更像解谜活动。什么时候第一次遇到一个问题或证明，意识到数学有优雅和美感？

他到普林斯顿读研究生时，约翰·康威在那里。他记得最早参加的研究讲座之一是康威讲他所谓的极端证明。康威有惊人的方式思考各种事情，你不会正常想到的方式。他把证明本身看作占据某个空间。如果你想证明某件事，比如有无穷多个素数，你有不同的证明，可以按不同轴排序。有些证明优雅，有些长，有些初等。所有证明的空间本身有某种形状，他感兴趣的是这个形状的极端点。所有证明中，最短的那个，牺牲其他一切，或者最初等的，或者别的。

他举了一些著名定理的例子，给出他认为在各自特性上的极端证明。陶哲轩觉得这非常开眼界。不只是得到一个证明有趣，有了证明之后，尝试在各种特性上优化它，证明本身有工艺性。

这影响了他的写作风格。本科时做作业，你被鼓励写下任何能用的证明交上去，只要打勾就行。如果想让你的结果有影响力，被读者阅读，它不能只是正确。它还应该读起来愉快，有动机，能适应推广到其他东西。很多其他学科也一样，比如编程。数学和编程有很多类比。你可以写能完成任务的意大利面条式代码，快速粗糙，能用。有好的原则写出好的代码，让别人能用，能在此基础上构建，bug 更少。数学也类似。

编程里有个活动叫代码高尔夫，用不同编程语言写出最短的程序完成特定任务。有比赛。这是压力测试程序，或者在这种情况下，证明，以及不同语言的好方法。也许用不同的记号完成不同的任务。这看起来像无聊的练习，它能产生各种洞见，如果你没有这个人为的目标去追求，你可能看不到。

什么是最美或最优雅的方程？人们常看简单性。E 等于 MC 平方。几个概念走到一起，这就是为什么欧拉恒等式常被认为是最美的数学方程。陶哲轩觉得最有吸引力的是不同事物之间的联系。欧拉恒等式用了所有基本常数。这很可爱，对他来说，指数函数，欧拉发明来度量指数增长，复利或衰减，任何连续增长、连续减少的东西，增长和衰减，或膨胀和收缩，都由指数函数建模。π 来自圆和旋转。你想把一根针旋转一百度，需要旋转 π 弧度。i，复数，代表交换虚轴的 90 度旋转，方向的变化。指数函数代表沿你已经在的方向的增长和衰减。当你在指数里放一个 i，运动不再是你当前位置的方向，垂直于你当前位置的方向，也就是旋转。E 的 πi 次方等于负一告诉你，如果你旋转 π 的时间，你最终到达相反的方向。它通过膨胀和指数增长统一了几何，通过复化、旋转 πi 这个行为统一了动力学。它连接了动力学、几何和复数。它们在数学中曾经是邻居，因为这个恒等式。

记号碰撞是有价值的。这是确认你有了正确的概念。当你第一次学任何东西，你必须度量它们，给它们命名。一开始因为你的模型离现实太远，你把最好的名字给了错误的东西，后来才发现什么是真正重要的。

物理学家有时会这样做，结果还好。E 等于 MC 平方，其中一个大东西是 E。亚里士多德最初提出运动定律，然后伽利略、牛顿，他们看到能度量的东西，质量、加速度、力，牛顿力学，F 等于 ma，是著名的牛顿第二定律。那些是主要对象。他们在理论中给了它们核心地位。只有后来人们开始分析这些方程，发现似乎总有守恒量。特别是动量和能量。物体有能量不是显而易见的。它不像质量和速度那样能直接度量。随时间推移，人们意识到这实际上是一个非常基本的概念。

哈密顿在 19 世纪最终把牛顿物理定律重新表述为哈密顿力学，能量，现在叫哈密顿量，成为主导对象。一旦你知道如何度量任何系统的哈密顿量，你就能完全描述动力学，所有状态会发生什么。它真的是一个中心角色，最初并不明显。这种视角变化在量子力学出现时非常有帮助。早期研究量子力学的物理学家很难适应他们的牛顿式思维，一切都是粒子，到了量子力学，一切都是波，看起来非常奇怪。你问 F 等于 ma 的量子版本是什么，很难回答。结果是，在经典力学中如此秘密地在幕后运作的哈密顿量，也是量子力学的关键对象。也有一个叫哈密顿量的对象。它是不同类型的对象，是算符而不是函数，同样，一旦你指定它，你就指定了整个动力学。

薛定谔方程告诉你量子系统一旦有了哈密顿量如何演化。并排看，它们看起来完全不同。一个涉及粒子，一个涉及波。有了这个中心性，你可以开始把很多直觉和事实从经典力学转移到量子力学。比如诺特定理。物理系统里每个对称性都有守恒律。物理定律是平移不变的，我向左移动十步，经历同样的物理定律，对应动量守恒。我转某个角度，还是同样的物理定律，对应角动量守恒。我等十分钟，还是同样的物理定律，时间平移不变，对应能量守恒。对称性和守恒之间有根本联系。量子力学里也是，即使方程完全不同。因为它们都来自哈密顿量，哈密顿量控制一切，每当哈密顿量有对称性，方程就有守恒律。有了正确的语言，事情变得干净多了。

我们无法统一量子力学和广义相对论的一个问题是，我们还没搞清楚基本对象是什么。我们必须放弃时空是近乎欧几里得空间的概念，我们知道在极小尺度会有量子涨落，有时空泡沫。试图用笛卡尔坐标 x、y、z 是行不通的。我们不知道用什么替代。我们没有那些概念，没有那个类似哈密顿量的东西来组织一切。

直觉认为存在大统一理论吗？陶哲轩相信存在。物理学历史就是统一的历史，很像数学。磁和电曾经是分开的理论，麦克斯韦统一了它们。牛顿统一了天体的运动和地球上物体的运动。这应该会发生。问题在于，物理学是自己成功的受害者。我们两个大理论，广义相对论和量子力学，现在太好了，它们一起覆盖了我们能做的一切观察的 99.9%。你必须去极端的粒子加速器，或者早期宇宙，或者非常难测量的东西，才能得到偏离这两个理论的结果，才能搞清楚如何把它们结合起来。他有信心，我们已经做了几个世纪，之前取得过进展，没有理由停止。

陶哲轩会发展出大统一理论吗？经常发生的是，物理学家需要某种数学理论时，数学家往往之前已经研究出了某种前身。爱因斯坦意识到空间是弯曲的，去找数学家，问有没有关于弯曲空间的理论。数学家说，黎曼研究过。黎曼发展了黎曼几何，正是关于各种一般弯曲空间的理论，几乎正是爱因斯坦理论所需要的。这又回到了数学的不合理有效性。解释宇宙的好的理论，往往也涉及那些很好地解决数学问题的数学对象。最终它们都只是用有用的方式组织数据。

弦理论是几十年的领先候选，陶哲轩觉得它正在慢慢失宠，因为不符合实验。实验很难，因为两个理论都太有效。另一个问题是，你不只是偏离时空，你进入疯狂数量的维度，做各种奇怪的事情，我们已经离最初平坦地球的直觉太远了，很难用我们有限的猿类后代认知去直觉那个现实到底是什么。

这就是类比为什么重要。圆的地球不直觉，因为我们被困在上面。圆的东西总体上我们有很好的直觉，我们对光如何运作有兴趣。用圆的地球、圆的月亮和模型来搞清楚日食月食和太阳月亮的相位是很好的练习。你可以拿一个篮球、一个高尔夫球和一个光源，自己做这些事。直觉在那里，你必须转移它。

现代科学是自己成功的受害者。为了更精确，它必须越来越远离你最初的直觉。对没有经历过整个科学教育过程的人来说，它看起来更可疑。我们需要更多接地气的东西。有些科学家做很好的科普，很多科学东西你可以在家做。陶哲轩最近和格兰特·桑德森做了个视频，讲古希腊人如何测量月球距离、地球距离，用的技术你也可以自己复制。不一定要花哨的太空望远镜和吓人的数学。

视角转换很重要。旅行开阔心灵，这是智力旅行。把自己放在古希腊人的心智中，或者其他时代的人，提出假设，球形奶牛，随便什么，推测。这是数学家做的，也是艺术家做的。

考虑到极端约束，你仍然能说非常有力的事情。这是鼓舞人心的地方。回顾历史，当你没有很多工具来搞清楚事情时，能搞清楚多少东西。

## 闭着眼睛在地上打滚

陶哲轩研究过波映射方程，也叫 sigma 场模型。它描述的是可能存在于时空之上的某些场的方程，与时空引力本身无关。爱因斯坦方程描述时空本身，还有其他场存在于其上。电磁场，杨-米尔斯场。有一整个层级的不同方程，爱因斯坦被认为是最非线性、最困难的之一，相对低的是波映射方程。一个波，在每一点固定在球面上。你可以想象空间中一堆箭头，指向不同方向，它们像波一样传播。如果你摆动一个箭头，它会传播，让所有箭头移动，像麦田里的麦浪。

陶哲轩感兴趣的是全局正则性问题。能量可能在某一点聚集吗？他考虑的方程是临界的，在所有尺度上行为大致相同。他勉强能证明你不能强迫所有能量集中到一个点，能量必须稍微分散一点，然后保持正则。这是 2000 年的事。这也是他后来对挂谷问题感兴趣的部分原因。

这个问题非常非线性，因为球面的曲率。有某些非线性效应是非微扰效应。正常看它比波动方程的线性效应大。即使能量很小，也很难控制。

他发展了一种规范变换。方程有点像麦浪的演化，都在来回弯曲，有很多运动。如果你想象在不同点安装小相机，试图以捕捉大部分运动的方式移动，在这个稳定化的流下，流变得更线性。他发现了一种变换方程的方式来减少非线性效应，然后能解方程。他是在访问澳大利亚的姑姑时找到这个变换的。他试图理解所有这些场的动力学，不能用纸笔，也没有足够的计算机设施做模拟。他最后闭着眼睛，躺在地板上，想象自己是这个向量场，滚来滚去，试图看到如何改变坐标，让所有方向上的东西以合理线性的方式行为。他姑姑走进来看到他在这样做，问他在干什么。答案很复杂。好吧，你是个年轻人，我不问。

陶哲轩怎么处理困难问题？大量纸笔。作为数学家你学会的一件事，他称之为战略性地作弊。数学的美妙之处在于你可以改变问题，改变规则，随心所欲。其他领域不允许。如果你是工程师，有人说在这条河上建一座桥，你不能说我想在这里建，或者我想用纸而不是钢。数学家，你想做什么都行。像玩一个有无限作弊码的电脑游戏。有个维度很大，我把它设为一，先解决一维问题。有个主项和一个误差项，我做球形奶牛假设，误差项是零。

你应该这样解决问题，不是在钢铁侠模式里让事情最大化地困难。任何合理的数学问题，如果有 10 件事让你的生活困难，找一个版本的问题，关掉其中九个，只留一个，解决它。然后解九次作弊，解十次作弊游戏就平凡了，解九次。你解决一个问题，教你如何处理那个特定的困难。然后关掉那个，打开另一个，解决那个。等你知道如何分别解决 10 个困难，然后开始几个几个地合并。

他小时候看很多香港动作片。每次打斗场景，主角被一百个坏人包围，编排总是让他一次只打一个人，打败那个，再下一个。因此他能打败所有人。如果他们更聪明一点，一起涌上来，电影会难看多了，他们能赢。

他主要用纸笔。办公室有四块大黑板，有时他必须把关于问题知道的一切写在四块黑板上，然后坐在沙发上，看整个东西。很多绘图，很多只有他自己能看懂的涂鸦。黑板的美妙在于可以擦，非常有机。他开始更多地用电脑，部分因为 AI 让简单的编码事情容易多了。以前想画一个中等复杂的函数，有迭代什么的，他得记得怎么设置 Python 程序，for 循环怎么工作，调试，要花两个小时。现在 10 到 15 分钟就行。他用越来越多电脑做简单探索。

## Lean：一个极度挑剔的同事

Lean 是一种计算机语言，像 Python 和 C 这样的标准语言，大多数语言的重点是可执行代码。代码行做事情，翻转比特，让机器人移动，在互联网上传递文本。Lean 也可以做这些，能作为传统语言运行，它还能产生证书。Python 这样的语言可能做计算，给你答案是七。3 加 4 等于 7 吗？Lean 不仅产生答案，还产生如何得到答案的证明，3 加 4 和所有步骤。它创建更复杂的对象，不只是陈述，是附带证明的陈述。每一行代码只是把之前的陈述拼起来创建新的陈述。想法不新，这些东西叫证明助手，提供语言让你创建相当复杂的数学证明。它们产生证书，如果你信任 Lean 的编译器，就 100% 保证你的论证正确。他们把编译器做得很小，有几种不同的 Lean 编译器可用。

很多数学家参与了 Lean 的设计。设计成单独代码行像单独数学论证行。你可能想引入一个变量，想用反证法。有各种标准事情可以做，写出来。理想情况下应该有一一对应。实际上不是，因为 Lean 在向一个极度挑剔的同事解释证明，他会指出，你真的这个意思吗？如果这是零会怎样？你怎么证明这个？Lean 有很多自动化来减少烦人程度。每个数学对象都必须有类型。如果我说 x，x 是实数还是自然数还是函数？写非正式的，常常有上下文。你说显然 x 等于，让 x 是 y 和 z 的和，y 和 z 已经是实数，所以 x 也应该是实数。Lean 能做很多这样的事，每隔一段时间它说，等等，你能告诉我更多关于这个对象是什么吗？什么类型？你必须更哲学地思考，不只是你做的计算，每个对象在某种意义上实际是什么。

Lean 用的是老式 AI，传统的。你可以把所有东西表示成树，总有算法把一棵树匹配到另一棵树。每个对象都带着它从哪来的历史，你可以追溯。它设计是为了可靠性。现代 AI 不用在里面，是分离的技术。人们开始在 Lean 之上使用 AI。数学家试图在 Lean 里编程证明，常常有一步，现在我想用微积分基本定理做下一步。Lean 开发者建了一个巨大的项目叫 Mathlib，几万条关于数学对象的有用事实的集合。某处有微积分基本定理，你需要找到它。很多瓶颈现在是引理搜索。你知道某个工具在那里，需要找到它。有专门的搜索引擎，现在也有大语言模型，你可以说，我需要这个点的微积分基本定理。陶哲轩写代码时装了 GitHub Copilot 作为 IDE 插件，扫描文本，看需要什么。他可能打，现在我需要用微积分基本定理，然后它建议，试试这个。大约 25% 的时候完全正确，另外 10 到 50% 的时候不完全对，足够接近，改改这里那里就行。一半的时候给完全垃圾。人们开始在上面用 AI，主要是在花哨自动补全的层面。

陶哲轩估计现在形式化一个证明所需的时间和精力大约是写出来的 10 倍。可行，烦人。

这不就杀了当数学家的氛围吗？有个挑剔的同事。如果那是唯一的特性，确实。有些情况下正式地做事情实际上更愉快。他形式化过一个定理，最终陈述里出现一个常数 12。这个 12 贯穿整个证明，一切都必须检查，所有其他数字必须与最终数字 12 一致。他们写了一篇论文。几周后有人说，我们可以通过重做某些步骤把 12 改进到 11。这发生在纸笔上时，每次改变参数，你必须逐行检查证明的每一行是否仍然有效。可能有微妙的事情，你没意识到的某些性质，不是数字 12，你没意识到你在利用。证明可能在微妙的地方崩溃。

他们用常数 12 形式化了证明。新论文出来后，他们说要更新到 11。用 Lean 你能做的，在主定理里把 12 改成 11，运行编译器，几千行代码中，90% 仍然工作，有几行标红。我无法证明这些步骤，立刻隔离出你需要改变哪些步骤。你可以跳过一切正常工作的部分。如果你用好的编程实践正确编程，大多数行不会红。只有少数地方，如果你不硬编码常数，用聪明的策略，你可以把需要改变的东西局部化到很小的时间。一两天内他们就更新了证明，过程收敛得比纸笔平滑得多。

证明更长，每一块更容易读。数学论文跳到第 27 页看第六段，有一行数学文本，陶哲轩常常不能立刻读懂，因为它假设了各种定义，你得回到十页前看定义，证明散落各处，你被迫相当顺序地读。不像小说可以打开中间开始读，有很多上下文。在 Lean 里，你把光标放在一行代码上，每个对象都可以悬停查看，告诉你它是什么，从哪来，哪里的东西被证明。追溯比翻数学论文容易多了。

Lean 真正实现的一件事是可以在非常原子的尺度上合作证明，这在过去做不到。传统纸笔，想和另一个数学家合作，要么在黑板上互动，要么通过邮件，基本必须分段，我完成第三节，你做第四节。你没法真正同时做同一件事。用 Lean，你可以试着形式化证明的某部分，说我在第 67 行卡住了，我需要证明这个，不太行，这是我遇到麻烦的三行代码。因为所有上下文都在，别人可以说，我认出你需要做什么，你需要应用这个技巧或工具。你可以进行极其原子级别的对话。因为 Lean，陶哲轩能和全世界几十个人合作，大多数他从未见过面，他甚至可能不知道他们在证明领域有多可靠。Lean 给他信任的证书，所以他能做无信任数学。

陶哲轩以伟大的合作者著称。合作解决困难数学问题的正确方式是什么？数学研究项目本质上是，开始时你不知道怎么做。不像工程项目，理论已经建立几十年，主要困难是实现。你必须搞清楚正确的路径是什么。这就是他说的先作弊。回到建桥的类比。先假设你有无限预算、无限劳动力，现在你能建这座桥吗？现在有无限预算但有限劳动力，现在能吗？当然没有工程师能这样做，他们有固定需求。一开始总有这样的即兴演奏，你尝试各种疯狂的东西，做各种不现实的假设，计划稍后修正。你试图看是否有某个方法的骨架可能行得通。希望这能把问题分解成更小的子问题，你不知道怎么做，专注于子问题。有时不同的合作者更擅长某些事情。

他的一个主题是本·格林，现在叫格林-陶定理。素数包含任意长度的等差数列。这是他修改塞迈雷迪定理的结果。他们合作的方式是，本已经证明了长度三的类似结果，他的技术只适用于三。陶哲轩有遍历理论的技术，他当时比本更熟悉。如果他能证明素数相关的某个集合的某些随机性性质，某个技术条件，如果本能提供这个事实，他就能推出定理。他要求的是数论中非常困难的问题，本说没办法证明。所以他说，你能用我有一个机会证明的弱假设来证明你那部分吗？他提出了他能证明的东西，对陶哲轩太弱了。我无法用这个。来回对话，一个黑客。我想作弊更多，他想作弊更少。最终他们找到一个性质，本能证明，陶哲轩能用，然后他们能证明定理。每种合作都有故事，没有两个一样。

有了 Lean，这几乎是另一个故事。你可以为一个问题创建蓝图，真正做分而治之，在不同的部分工作，用计算机证明检查器确保一切正确。它让一切兼容、可信任。目前只有少数数学项目能这样切分。当前最先进的状态，大多数 Lean 活动是形式化已经被人类证明的证明。数学论文基本上是一种蓝图。把困难陈述分解成一百个小引理，往往没有写得足够详细，每个都能直接形式化。蓝图是论文的极度挑剔版本，每一步尽可能详细解释，让每一步自包含，或只依赖于非常特定数量的已证明的先前陈述。这样生成的蓝图图的每个节点可以独立于其他节点处理。你甚至不需要知道整个东西如何工作。像现代供应链。想造 iPhone 或其他复杂东西，没有一个人能造整个东西，可以有专家，给他们来自其他公司的零件，他们能把它们组合成一个稍大的零件。

这是令人兴奋的可能性。如果能找到能这样分解的问题，可以有几千个贡献者。完全分布式。

陶哲轩之前讲过理论数学和实验数学的分裂。现在大多数数学是理论的，只有一小部分是实验的。他认为 Lean 和其他软件工具，GitHub 之类，会让实验数学扩大到比现在大得多的程度。现在想做某个数学模式或东西的数学探索，你需要一些代码写出模式。有时有计算机代数包能帮忙，常常只是一个数学家写大量的 Python 或其他。因为编码是如此容易出错的活动，让其他人和你合作写模块不现实，如果一个模块有 bug，整个东西不可靠。所以你得到非专业程序员写的定制的意大利面条式代码，笨重缓慢。因此很难大量生产实验结果。

有了 Lean，他已经开始一些项目，不只是实验数据，是实验证明。他有个叫等式理论项目的项目。生成了大约 2200 万个抽象代数的小问题。抽象代数研究乘法、加法这样的运算和抽象性质。乘法是交换的，x 乘 y 总是 y 乘 x，至少对数字是这样。也是结合的，x 乘 y 乘 z 和 x 乘 y 乘 z 一样。这些运算服从某些定律，不服从另一些。比如 x 乘 x 不总是等于 x，这条定律不总是成立。给定任何运算，它服从某些定律，不服从另一些。他们生成了大约 4000 条可能的代数定律。问题是哪些定律蕴含哪些其他定律。比如交换性蕴含结合性吗？答案是否定的，因为你可以描述一个服从交换律但不服从结合律的运算。通过给出例子，你能证明交换性不蕴含结合性。有些定律确实通过替换之类蕴含其他定律，你可以写下代数证明。他们看这 4000 条定律之间的所有配对，多达 2200 万个。对每个配对，问这条定律蕴含这条吗？如果是，给证明。如果不是，给反例。2200 万个问题，每个都可以给本科代数学生，他们有不错的机会解决，有一些，大约一百个，真的相当难，很多是简单的。项目就是确定整个图，哪些蕴含哪些。

这不可行，文献中的最先进水平大约是 15 个方程，是纸笔人类能做到的极限。你需要扩大规模。需要众包，也需要信任，没有人能检查 2200 万个证明。需要计算机化。只有 Lean 才可能。他们希望也用很多 AI。项目几乎完成了。2200 万个里，除了两个都解决了。实际上那两个有纸笔证明，正在形式化。陶哲轩早上还在做，快完成了。大约 50 人参与，在数学里被认为是巨大的数字。会有 50 个作者的论文，一个大附录说明谁贡献了什么。

组织贡献时可以按专业水平吗？可以有 ELO 评分之类的游戏化吗？Lean 项目的美妙之处在于自动获得所有这些数据，所有东西上传到 GitHub。GitHub 追踪谁贡献了什么。你可以生成统计。这些是很粗糙的指标。陶哲轩绝对不希望这成为终身教职评审的一部分。在企业计算中，人们已经用一些这样的指标评估员工表现。这是学术圈有点可怕的方向，我们不太喜欢指标。

但学术圈用指标，只是用旧的，论文数量。这确实。这是个指标，虽然有缺陷，方向更正确。有趣，至少很有趣。你可以研究这些是否更好的预测器。有个问题叫古德哈特定律。如果一个统计量被用来激励表现，它会被博弈，然后不再是有效的度量。人类总是博弈。这是理性的。

他们项目做的是自我报告。有科学界的标准类别，什么类型的贡献。概念和验证、资源、编码等等。有大约 12 个类别的标准列表。他们让每个贡献者在作者和类别的矩阵里勾选他们认为自己贡献的地方，给个粗略想法。你做了些编码，提供了些算力，没做纸笔验证。这行得通。传统上数学家按姓氏字母排序，没有科学界的第一作者、第二作者传统，他们为此自豪。所有作者地位平等。这不适用于这么大的规模。

十年前他参与过博学项目，众包数学但没有 Lean 组件。受限于需要人类版主检查所有贡献是否有效。这是巨大的瓶颈。仍有大约 10 个作者的项目。当时他们决定不试图决定谁做了什么，用一个笔名。他们创造了一个虚构角色叫 DHJ 博学，向 20 世纪著名数学家群体的笔名致敬。论文署名这个笔名，我们都没得到作者信用。这后来证明不太好，有两个原因。一是如果你想被考虑终身教职，你不能用这篇论文作为你的出版物，因为它没有正式作者信用。另一个他们后来认识到的是，当人们提到这些项目时，他们自然提到参与的最著名的人。这是蒂姆·高尔斯的博学项目，这是陶哲轩的博学项目，不提其他 19 个人。这次他们尝试不同的，每个人都是作者，会有附录有这个矩阵，看看效果如何。

## AI 与数学：合作还是替代

DeepMind 的 AlphaProof 用强化学习在失败的成功的 Lean 形式化证明上训练，解决 IMO 问题。非常高中的水平。陶哲轩怎么看？难度随证明涉及的步数指数增长。组合爆炸。大语言模型会犯错，如果证明有 20 步，每一步有 10% 的失败率走错方向，极不可能到达终点。

从自然语言映射到形式化程序有多难？极其困难。自然语言容错性很强。你可以犯些小语法错误，用第二语言说，别人能大致理解。形式语言，一个小错误，整个东西就是无意义的。即使形式到形式也很难。有不同的不兼容的前缀和语言。有 Lean，还有 Coq 和 Isabelle。即使从一个形式语言转换到另一个形式语言也是未解决的问题。

AlphaProof 令人印象深刻，显示了什么是可能的。方法目前不能扩展。三天的谷歌服务器时间能解决一个高中数学题。这不是可扩展的前景，特别是随复杂度指数增长。

他们得了银牌表现。首先，他们用了比规定多得多的时间，有人类帮助形式化，还给自己满分，因为是形式化验证的。所以公平。有努力，会有提案在某个时候真正举办 AI 数学奥林匹克，同时给人类参赛者和 AI 同样的题目，同样的时间，输出由同样的评委评分，这意味着必须用自然语言而不是形式语言写。

希望这会发生。不会在这次 IMO 发生，时间段内表现不够好。有更小的比赛，答案是数字而不是长形式证明的比赛。AI 在特定数值答案的问题上好得多，因为容易做强化学习。你答对了，你答错了，信号很清楚。长形式证明要么必须形式化，然后 Lean 给赞或踩，要么非形式化，然后需要人类告诉。如果你试图做几十亿次强化学习运行，你雇不起足够的人类来评分。让大语言模型在普通文本上做强化学习已经够难了。现在你真的雇人，不只是点赞点踩，而是数学上检查输出，太贵了。

人类在数学里做的最特别的事，AI 短期内无法突破的是什么？发明新理论？提出新猜想还是证明猜想？构建新抽象？新表示？还是看到不同领域之间的新联系？

数学家的本质随时间变化很大。一千年前，数学家必须计算复活节日期，非常复杂的计算，已经自动化几个世纪了，我们不再需要。他们曾经做球面导航，圆三角学，从旧世界到新世界怎么走，非常复杂的计算。也已经自动化。甚至很多本科数学，在 AI 之前，比如 Wolfram Alpha，不是语言模型，能解决很多本科水平的数学任务。计算那一块，验证例行事情，比如有一个偏微分方程问题，你能用 20 个标准技术中的任何一个解决吗？说，是的，我试了所有 20 个，这里有 100 个不同的排列和我的结果。这类事情会工作得很好，扩展到一旦你解决一个问题，让 AI 攻击一百个相邻问题。

人类仍然做的。AI 现在真正挣扎的是知道什么时候走错了路。它可以说，我要解决这个问题，把它分成两种情况，试试这个技术。有时如果你幸运，问题简单，是正确技术，解决了问题。有时它会提出一个方法，完全是胡说八道，看起来像证明。

LLM 生成的数学有一个烦人的地方。人类生成的数学质量很低，比如没有正式训练的投稿，如果人类证明是坏的，你很快能看出来，犯很基本的错误。AI 生成的证明，表面上看可能完美无瑕。部分因为强化学习实际训练它们做的是产生看起来正确的东西，对很多应用来说足够好。错误往往非常微妙，当你发现时，非常愚蠢。没有人类会犯那种错误。

编程情境下很令人沮丧。人类写低质量代码时，有代码味道，你能立刻看出迹象。AI 生成的代码，最终你发现一个明显愚蠢的东西，只是看起来像好代码。很棘手，很令人沮丧。

嗅觉，这是人类有的一样东西。有一种比喻性的数学嗅觉，不清楚如何让 AI 复制。AlphaZero 在国际象棋和围棋中取得进展的方式，某种意义上它们发展出了对棋局位置的嗅觉，这个位置对白方好，对黑方好。它们无法解释为什么，有了那个嗅觉就能制定策略。如果 AI 获得判断某些证明策略可行性的能力，因为我打算把这个问题分成两个小任务，它们能说，这看起来好，两个任务看起来比主任务简单，仍有很好机会是真的，所以值得试。或者，不，你把问题弄得更糟了，因为两个子问题实际上都比原问题难。这实际上是如果你随机试一件事通常会发生的事情，非常容易把问题转换成更难的问题。很少转换成更简单的问题。如果它们能获得嗅觉，也许能开始竞争人类水平的数学家。

如果给陶哲轩一个神谕，能做他做的某方面，他愿意合作，希望神谕能做什么？他希望是验证器，检查，是的，陶教授，正确，这是有希望的方向？还是生成可能的证明然后他看哪个对？还是生成不同的表示，完全不同的看问题的方式？

所有上述。很多是我们不知道如何使用这些工具，因为这是过去没有过的范式。系统足够胜任理解复杂指令，能在巨大规模上工作，不可靠。有趣的是，在微妙的方式上不可靠，同时提供足够好的输出。有趣的组合。你有研究生和你合作，有点像这样，不是规模。我们之前有能大规模工作的软件工具，非常窄。我们必须搞清楚如何使用。蒂姆·高尔斯在 2000 年就预见到了。他在展望 25 年后数学会是什么样。他写了一篇文章，一个未来的数学助手和他自己的假设对话。他试图解决一个问题，他们对话。有时人类提个想法，AI 评估，有时 AI 提个想法。有时需要计算，AI 就去说，好，我检查了这里需要的 100 个情况，或者你为所有 n 设置这个，我检查了 n 到 100，看起来好，或者等等，n 等于 46 有问题。自由形式的对话，你事先不知道事情会走向哪里，基于，我想想法双方都会提。计算双方都会提。

陶哲轩和 AI 有过对话，他说，我们合作解决这个数学问题。是一个他已经知道答案的问题，他试着提示。好，这是问题。我建议用这个工具，它会找到这个。它可能开始用这个，然后回到它之前想做的工具。你必须不断把它引到你想要的路上。他最终能强迫它给出他想要的证明，像赶猫。他必须付出的个人努力，不只是提示它，还检查输出，因为很多看起来会成功，他知道第 17 行有问题，和它争论。比无辅助地做更累。这是当前最先进的状态。

会不会有一个相变，不再感觉像赶猫。陶哲轩相信会。在形式化中，他之前提到形式化一个证明比手写多花 10 倍时间。有了现代 AI 工具和更好的工具，Lean 开发者做得很好，加更多功能，让它用户友好，从 9 降到 8 降到 7。没什么大不了，有一天会降到 1。那是相变，因为突然写论文先用 Lean 写，或者通过和 AI 对话，一般和你实时进行，就变得自然了。期刊接受也变得自然。也许提供快速审稿。如果论文已经用 Lean 形式化，他们只让审稿人评论结果的重要性和与文献的联系，不太担心正确性，因为已经被认证了。论文越来越长，越来越难得到好的审稿，除非非常重要。这实际是个问题，形式化来得正是时候。

更简单更容易，因为工具和其他因素，你会看到 Mathlib 可能指数增长，良性循环。一个这样的相变过去发生过，LaTeX 的采用。LaTeX 是所有数学家现在用的排版语言。过去人们用各种文字处理器和打字机，某个时候 LaTeX 变得比其他竞争对手更容易用，人们几年内就切换了。戏剧性的相变。

多远的未来，AI 系统能作为合作者参与赢得菲尔兹奖的证明？这取决于合作的程度。已经是了。他能想象一篇获奖论文有 AI 辅助写作，就像 Copilot 已经加速他自己的写作。你有一个定理和一个证明，证明有三种情况，我写下第一种情况的证明，自动补全建议，现在第二种情况的证明可能这样。完全正确。很好。节省了五到十分钟的打字。

那种情况 AI 不会得菲尔兹奖。是 20 年，50 年，100 年？陶哲轩印出的预测是到 2026 年，就是明年，会有数学和 AI 的合作，不是菲尔兹奖级别的，是实际研究级论文。也许不是想法，至少一些计算、验证。已经发生了。有些问题通过和 AI 对话提出东西的复杂过程解决，人类去试，合约不成功，它可能提出不同的想法。很难精确区分。确实有数学结果只能因为有人类认证和 AI 参与才能完成，很难区分功劳。这些工具不复制数学所需的所有技能，能复制相当大比例，30%、40%，能填补空白。编码是好例子。陶哲轩用 Python 编码很烦，他不是职业程序员，有了 AI，摩擦成本大大降低。填补了那个空白。AI 在文献综述上变得相当好。仍然有幻觉引用不存在的问题，这可以解决。如果以正确的方式训练，用互联网验证，几年内能达到，你有一个需要的引理，说有人证明过吗？它会做花哨的网页搜索，说，是的，有六篇论文有类似的东西。现在你可以问它，它给你六篇，其中一篇合法相关，一篇存在但不相关，四篇是幻觉。现在成功率非零，垃圾太多，信噪比太差，最有帮助的是当你已经大致知道关系，只需要被提醒一个已经潜意识在记忆里的论文。而不是帮你发现你完全不知道但正确的新引用。它有时能，被埋在一堆选项中，其他的都是坏的。能自动生成正确的相关工作部分，这是美丽的事情。可能是另一个相变，因为它正确分配信用。打破思想孤岛。

现在有很大障碍。像自动驾驶。安全边际必须很高才可行。很多 AI 应用有明天问题，能开发工作 20%、80% 时间的工具，还不够好。实际上，有时比好更糟。

另一种问菲尔兹奖问题的方式，哪一年你会醒来真的很惊讶，读新闻，AI 做了真正的突破。这个十年他能看到它在人们认为不相关的两个东西之间建立联系。生成一个猜想，有真正的机会正确和有意义。当前模型很挣扎。物理学家有一个梦想，让 AI 发现新的物理定律。梦想是喂它所有数据，这是新规律。实际上，当前最先进的状态甚至难以从数据中发现旧的物理定律。如果它做到了，有个大担忧是污染，它只是因为在训练里才有。部分是我们没有正确的训练数据。对于物理定律，我们没有一百万个不同宇宙有一百万个不同自然定律。数学中缺失的很多实际上是负空间。我们有已发表的人们能证明的东西，最终被验证的猜想或产生反例，我们没有数据关于那些被提出，是好的尝试，人们很快意识到是错误猜想，然后说，哦，但我们应该改变我们的声称，以这种方式