# 数学中的 AI 危机：纳维-斯托克斯方程、黎曼猜想与复杂性理论

> 探讨 AI 对数学研究构成的危机，涉及纳维-斯托克斯方程、黎曼猜想与复杂性理论等核心难题。

- 原标题：#503 – AI Crisis in Math: Navier-Stokes, Riemann Hypothesis & Complexity Theory
- 期数：第 503 期
- 发布日期：2026-10-26
- 嘉宾 / 主题：数学中的 AI 危机
- 网页版：https://lex.qiaomu.ai/ep/math-ai-crisis/
- 官方页面：https://lexfridman.com/math-ai-crisis/
- 精读字数：约 12351 字（阅读约 27 分钟）

> 本文为 lex.qiaomu.ai 基于原始访谈的 AI 改写中文精读，非官方翻译；引用请注明出处并链接网页版。

2026 年 10 月的一个周二傍晚，纽约数学博物馆正在办年度晚宴。罗格斯大学的数论学家 Alex Kontorovich 一手端着威士忌，一手不停刷新手机。他知道 OpenAI 会在六点前后发布一批结果，不知道具体是什么。

消息刷出来时，他正和一位 Quanta 杂志的记者闲聊。屏幕上跳出“拟黎曼假设”几个字。

> 我第一反应是，什么叫拟黎曼假设？对什么拟？然后我点进去，看到 zeta 函数，看到所有的 Dirichlet 函数，我心想，这不可能。那一刻我根本无法处理眼前看到的东西。（Alex Kontorovich）

几周之内，机器声称解决了数学史上最难的一批问题：纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes）的爆破反例、拟黎曼假设、唯一游戏猜想（Unique Games Conjecture），外加几百个其他结果，一共七百篇。Terence Tao 用“惊骇”形容自己的感受：许多研究生和博士后投入多年、刻意放慢的研究，被一次发布随意打断甚至摧毁。就像电影被剧透、填字游戏的答案被提前公布，一旦知道答案存在，就没法再那么充分地探索一个问题了。

Lex Fridman 把这期播客称为“紧急节目”。他请来三位数学家，拼成一个“人类大脑的迷你集群”，试图理解刚刚发生的事：华盛顿大学的 Steven Brunton 研究流体力学，MIT 的 Ankur Moitra 研究复杂性理论和算法，今年在普林斯顿高等研究院访问，Alex Kontorovich 是数论学家，同时是 Lean 证明助手的重度用户。三个人聊了三个半小时。

## 三个人，三种表情

Alex 的第一个回答带着奇怪的乐观。他说危机里有很多机会，这是重新思考“数学家到底想做什么”的机会。几千年来，数学家举着一根蜡烛在森林里走，能看多远算多远。现在有了手电筒。

Ankur 的感受复杂得多。他说自己每天的感受都在变，但最大的感受是被两个方向同时拉扯。他的工作一直是“问对的问题”，AI 工具让他学习其他领域的速度大大加快，像一个随时在场的世界级专家，用你听得懂的语言讲课。另一面是，他最喜欢的工作之一，带学生，突然失去了原来的剧本。

> 我们过去给学生的成功蓝图非常简单：找一个大家关心的问题，把它做得更好，然后大家就会知道你是谁，论文能进顶会，门会为你打开。这个蓝图现在很多地方都变了。我感到兴奋，但可能也比以前更孤独。（Ankur Moitra）

他补充说，伟大的结果常常来自非常谦卑的问题，而现在到处是焦虑，人们觉得必须做出惊天动地的东西才能在海量的 AI 结果里冒头。种下橡树籽的那种耐心，正在流失。

Steven 站在最乐观的一端。他自称工程师，关心人造心脏、飞机、风力涡轮机。AI 会让解决实际问题的能力大幅提升，这是他充满希望的部分。但他也承认，接下来五到十年有两条路，一条是人类被另一种智能彻底盖过，另一条是这东西变成人类好奇心的工具。两条路差别巨大，没有人知道会走哪条。不确定性对人类很难，对选择数学的人尤其难。

> 我们选数学，多半是因为喜欢规则和形式化。不确定性让人不舒服。但这正好是一个机会，去记起自己为什么在做这件事。人的目的不是出名，不是拿菲尔兹奖，是解决有趣的问题，帮助别人，保持好奇，想理解这个世界。（Steven Brunton）

针对 Tao 的“剧透”论，Steven 给了一个反驳。他同意路径和目的地一样重要，就像自驾游的乐趣不只在终点。但如果另一个国家发明了传送门或时间旅行，他保证人类会在五年内重新发明出来。知道答案存在，本身就是巨大的加速器。

## 已解公理与门卫谬误

Lex 请三位嘉宾做一个思想实验：为“AI 彻底解决数学”和“数学照常继续”两个方向各自辩护。

Alex 先把问题拆开。“解决数学”和“毁灭数学”是两件事。他从国际象棋讲起。引擎刚出现时，人们以为未来是“半人马棋”，人类加电脑对抗人类加电脑。这个模式只维持了大概十秒钟。电脑强到人类除了接受引擎推荐的第一步之外做任何别的选择都会输，人的角色退化成一台复读机：接受，接受，接受。半人马棋从此消失。

然后他提出一个愿意为辩论而接受的假设，叫已解公理（solved axiom）：任何可以通过人类与 AI 交互解决的数学问题，也可以由 AI 单独解决。他强调自己不相信这个公理，也不认为人类接近那个时刻，但想沿着它往下推。

> 注意，这不是说 AI 能解决所有问题，黎曼假设就没被解决。它是说，AI 能解决所有人类与 AI 交互能解决的问题。如果那个世界真的到来，数学会被毁灭吗？我的答案是不会。纯数学的价值不在数据中心的一和零里，而在人的脑子里。（Alex Kontorovich）

Steven 的版本更激进。他试过好几次坐下来论证“LLM 永远做不了我做的事”，每次都推不下去：我能问问题，它也能；我还能问它“我该问什么问题”。他的已解公理版本是，凡是他作为人类数学家能贡献的，AI 原则上也能。但他随即说，即便在那个世界里，仍然需要有人类数学的专家在场。

Ankur 接过话题，给出全场最有生命力的一个比喻：门卫谬误（doorman fallacy）。你观察一个门卫的工作，把它简化成最显眼的一项：开门。于是想，装一扇自动门不就行了。但你漏掉了门卫做的其他事：欢迎客人，认出回头客，搬行李，叫出租车，提供安全感，挡住不该进来的人，传递“你被照顾了”的信号。Ankur 住在纽约时很喜欢和门卫聊天，他查完门卫的职责清单后笑了：数学家和门卫的共同点比想象中多，比如“传递品牌价值”。

> 数学家也一样。这份工作最简单、最显眼的部分是证明定理，尤其是那些悬了几百年的猜想，比如费马大定理，这些很容易被大众传播。但数学家是思考得很深的人，证明旧猜想只是深度思考的副产品。副产品还包括建立新理论，建立看旧东西的新方式，建立新的概念连接。这些部分也许 AI 迟早会吞掉，但此刻还没有。现在不是按恐慌按钮的时候，是重新校准价值观的时候。（Ankur Moitra）

他还补了一句经济学的观察：当一件事变得便宜，比如解决定义良好的问题，那些与它正交的事情就变得更值钱了。

## 凸包、半群和一团雾

Lex 问了一个技术性问题：AI 到底是在把几千篇论文的线索串起来，做人类也能做的连接，还是真的产生了新想法？有没有围棋第 37 手那样的神来之笔？

有人说这些证明只是“在凸包里”。Alex 不喜欢这个说法，但他先用气球打了个比方：气球内部是所有数学家已经想出来的点，内部任意一点都是这些点的线性组合。如果 AI 只在气球内部移动，它就没有把气球撑大，没有给出新想法。“凸包”这个说法的贬义就在这里：里面的东西，人类早晚也能做出来。

他更接受 Tim Gowers 的说法：半群。半群像铺瓷砖。你手上有一些瓷砖，规则是每当你有一块瓷砖，就可以在它的上下左右再放一块，然后一直铺下去。问题是，用这些瓷砖你能铺多远？

> 用已有的想法，你可以走非常非常远，远到超出人类探索过的范围。拟黎曼假设用的每一步都是人类已知的东西，但那是一条长得吓人的链条。你看的时候会说，天哪，太漂亮了，怎么会想到这一步之后再走那一步。（Alex Kontorovich）

Steven 补了一个重要的角度。就算这只是插值，就算气球没有被撑大，这个气球是不透明的。人类的知识散落在成千上万篇论文里，没有人能全部读完，更谈不上知道哪些想法挨着哪些想法。

> 我们不知道这个凸包有多大，不知道什么东西挨着什么东西。我们知道的周围有太多雾。就算只是把雾吹开，给数学家一台雷达，让他们看见地平线后面有什么，这已经很了不起，不应该被当成贬义。（Steven Brunton）

Ankur 提醒，边界确实被改变了。他举了 Anthropic 那个 3SUM 问题的结果。3SUM 是编程面试里常见的入门题，整个细粒度复杂性理论建立在“这个问题很难”的假设上，一大堆其他问题的难度都归约到它身上。结果它比所有人赌的都要快。这不仅带来一批新算法，还改变了这个领域组织研究的方式：过去把这些问题捆在一起研究，现在也许该拆开。他强调，就算没有深层的新思想，仅仅知道定理的真假，就会永久改变年轻人被分配的问题和研究方向。

还有一个容易被忽略的细节。OpenAI 据说向模型投喂了几千个问题，最终只发布了成功的那些，成功率大约百分之十。人类看到的七百篇，是筛过的一面。

Alex 补了一个更极端的例子。如果七百篇里有一篇证明了多项式时间的整数分解，后果立竿见影。两个一百万位的素数乘起来一瞬间，反过来把乘积拆回去，人类不会。“不会分解”这件事，是现代电子商务和加密通信的地基。Steven 提到美国国家安全局雇着几千名数学家，然后开了一个玩笑式的思想实验：他们手里有什么是我们不知道的？

## 素数：每件乐器音量相同的乐团

Alex 花了很长时间解释黎曼假设，这段讲解值得完整复述。

素数是乘法世界的基本粒子。每个整数都能分解成素数的乘积，就像物质由基本粒子组成。素数的分布是数论的核心谜题。黎曼发现，控制素数分布的是一个输入和输出都是复数的函数，黎曼 zeta 函数。这个函数取值为零的位置，编码了素数分布的全部信息。

Alex 用信号处理做类比。声带发出压力波，麦克风做傅里叶分析，把声音变成振幅和频率的数字，扬声器再把数字还原成声音。zeta 函数对素数做的就是这件事：把素数当作空气中的分子，做一次信号处理，再还原回来。零点的位置对应频率和振幅。

> 你可以把这些波叫作黎曼波，它们的叠加还原出素数的分布。黎曼假设说的是，所有振幅完全相同。演奏素数音乐的整个乐团，每一件乐器的音量都一模一样。（Alex Kontorovich）

Steven 补充了素数为什么迷人。加一和乘法是数学里最基础的两件事，三岁小孩都能懂，但人类不知道它们如何相互作用。一个能分解的数加一之后会发生什么，没人说得清。素数就是这个谜题的蒸馏。

Alex 讲了他儿子的故事。孩子两三岁时玩积木，二十块积木能摆成四乘五、十乘二的方阵，玩得很开心。有一天一块滚到沙发底下，只剩十九块，他怎么也摆不出好看的矩形，急得不行。Ankur 接了一句：解决方案是再弄丢一块。三个大人笑作一团。素数的美，孩子自己就能发现。

然后是技术细节。黎曼证明了 zeta 函数的零点只可能落在复平面上一条竖直的无限长带里，实部在零和一之间，这叫临界带。黎曼假设猜想，所有零点都恰好在这条带的正中央，实部等于二分之一。在此之前人类知道的，是一个越来越窄的无零点区域：实部等于一这条线上没有零点，这等价于素数定理。七十年来，这个区域的宽度没有挪动过。

> 这次 AI 做到的，是把无零点区域变成一个完整的竖直长条：实部在八分之七和一之间没有零点。把八分之七压到二分之一，就是完整的黎曼假设。它用的方法从根本上压不到二分之一，需要新想法。但拟黎曼假设本身需要很多很多新想法，它把这些想法想出来了。（Alex Kontorovich）

Ankur 讲了一个 1950 年代的剧本。冯·诺依曼死后上天堂见到上帝，问：黎曼假设是真的吗？上帝说：是真的。所有人松了一口气。冯·诺依曼追问：可您怎么知道？上帝想了想说：我知道所有零点的位置，它们都在实部等于二分之一那条线上。剧本的结尾，冯·诺依曼因为不满足于这个答案，去了另一个地方。

> 数学不是事实，是为什么。一直都是为什么。你只告诉我一个事实是真的，但我不理解它为什么真，这对我的知识贡献是零。（Alex Kontorovich）

## 一千三百万行代码和一句“继续”

拟黎曼假设之前，还有一轮更直接的冲击：费马大定理的形式化。

Alex 在普林斯顿数学系做过一场报告，详细讲了 Lean 和 Mathlib 的能力边界。Lean 是一个交互式定理证明器：数学从公理出发，按逻辑推理规则一行行写证明，电脑逐行检查。Mathlib 是 Lean 生态里形式化数学的公共库，追求最一般、最抽象的表述，不允许重复造轮子。他的判断是：AI 能把教科书形式化，前提是内容在 Mathlib 的光环之内，也就是距离已有内容一到两步。再远，AI 会用两种方式定义同一个对象，两个定义打架，缝不起来。

他引用了 Kevin Buzzard 的项目：一笔百万美元的资助，用五年时间把费马大定理的证明归约到 1980 年代已知的工具上。最后那一步，Wiles 和 Taylor 七年的工作，依然被认为极其困难。

> 我的报告是周三。周五，一千三百万行代码从公理出发，费马大定理被证明了，Lean 说它是 sorry-free 的。我在报告里说的每一条都错了。（Alex Kontorovich）

他后来了解到，参与的人类大概两三个，大部分时间他们做的事是打“继续”，全大写。没有领域专家参与。这个证明不干净，离 Mathlib 质量还差得远，需要成千上万小时的人类工作去重构。但“从人类写在纸上的证明出发，得到机器验证的形式化”这件事，在 Alex 看来已经结束了。自动形式化，基本被解决。

他顺带解释了形式化为什么重要。数学书里的引理没有完美的规格说明，作者默认你读了前六十页，所以没法像火箭零件那样从货架上直接取用。如果所有数学都形式化，规格说明就内建在对象里，你没法用错，因为 Lean 不让你用错。这正是 Mathlib 十年前创立时的梦想：让数学更像一门科学来运行。

## 佩雷尔曼、期刊和论文的未来

七百篇证明涌进来，谁负责检查？Alex 说，数学期刊在 AI 出现之前就已经严重超载，审稿人疲惫不堪。但他紧接着说了一句很重的话：这个体系唯一更糟的替代品，是没有这个体系。

他讲了佩雷尔曼证明庞加莱猜想的过程佩雷尔曼把证明庞加莱猜想的论文挂上 arXiv，全世界震惊，各地争相邀请他讲学。他到石溪、到纽约大学、到普林斯顿，每场都是三个小时的即兴讲解：第一个小时讲自己在做什么，后两个小时全是提问。“第二百四十七页，引理四百一十二，我不明白这里是怎么推出来的。”然后他走到黑板前，就这一条引理单独讲半个小时。整个证明活在他的脑子里，论文只是他尽力做出的传达。剩下的工作由整个数学共同体完成：逐行核对，确认这确实是庞加莱猜想的证明。这件事花了好几年，消耗了大量人力。

> 给出解答只是第一步。后面的过程必须审慎，必须由共同体驱动。期刊体系想完成的就是这件事。（Alex Kontorovich）

Steven 提供了另一个视角。纯数学传统里那个独自攻克难题、再向世界解释的孤独天才形象，在其他领域早就失效了。电路设计、飞机设计、蛋白质结构、天文观测，都进入了需要几百人和几十亿美元协作的阶段。而数学家天性独立，不喜欢被告知该研究什么，集体模式的转型对他们格外艰难。

Ankur 的态度是反着来的：永远不要浪费一场好危机。期刊超载，会议超载，审稿人疲惫，现在又多出一堆 AI 生成的论文等着人看。他支持建立新模型为旧体系减负，比如多个团队协作验证 AI 证明。OpenAI 发布的结果里有快速傅里叶变换的改进，推特上已经有人接力优化其中的常数，他甚至不知道该怎么归类这种协作。传统论文是一次性的：草稿挂上 arXiv 就属于作者，别人不能往上加注。也许数学需要一种允许众包修订的新载体。他还热爱做报告，因为报告可以只讲那个关键想法和那个漂亮的特例，至于引理五十七，他自己都不记得。Lean 已经能承担技术细节的验证，这给写作松了绑，把篇幅留给思想。

## 一百万美元的数学问题，一万亿美元的工程问题

轮到 Steven 讲流体。纳维-斯托克斯方程本质上是动量守恒在流体上的表述。F 等于 ma 是牛顿力学的基本原理，对房间里的空气、流动的水同样成立。在任意一小块体积上写下动量守恒，让体积收缩到任意小，就得到这组偏微分方程：速度场如何在空间和时间中演化，压力如何驱动它。黏性是流体的内部摩擦，蜂蜜比水稠，水比空气稠，外力则包括加热、重力和压强。

方程好写，解起来是另一回事。单摆的方程简单，加一个摆就进入混沌。想模拟一个房间里的空气，可以把空间切成十亿个小盒子，每个盒子写一条微分方程，合成一个庞大到无法精确求解的系统。

难度背后是真金白银。有估算说，航空公司只要把飞机阻力降低百分之一，就能省下几百亿美元。Steven 的说法更直接：

> 我们解决了一百万美元的数学问题，但还有一万亿美元的工程问题：如何快速高效地预测流场，如何做逆向设计。我想要一个高升力、低阻力的机翼，但不知道改变外形会如何影响那一整串越来越小的涡。交通、国防、医疗、能源，核心技术里都有流体。（Steven Brunton）

他引了费曼的一段话。麦克斯韦方程、纳维-斯托克斯方程、薛定谔方程，我们都会写，但从方程出发，我们不知道里面允许什么现象存在。假如你从没来过地球，只给你一条偏微分方程，你能预测出日落和潮汐吗？差得远。

Alex 追问了一个物理问题。广义相对论刚提出时，史瓦西解里出现奇点，大家觉得这一定是方程出了错，直到黑洞被证实存在。那么纳维-斯托克斯的爆破，会不会也指向关于水的新物理？Steven 给了工程师的答案：这组方程在特定尺度上是对流体的极好近似，放大到分子级别就失效了。数学上爆破发生时，流体已经不再是流体，其他物理接管了。

## 一个涡如何变成无穷

这次证明的到底是什么？Steven 从一个最简单的例子讲起。X 的变化率等于 X 的平方，这条微分方程会在有限时间内爆破。X 的变化率等于 X 本身，则是兔子种群的指数增长，永远翻倍，但要到无穷长时间才达到无穷。差一个平方，差出有限与无限。纳维-斯托克斯方程里的对流项，也就是流体靠自身动量搬运自己的那一项，恰好是二次非线性。没有黏性，大家怀疑它会在某些初始条件下爆破；有了黏性，爆破是否总会被抹平？Steven 的工程直觉是会：一个加速冲向无穷的流，应该立刻向邻居扩散，把增长压下去。数学问题就变成，是否存在某种精心编排的初始构型，能让它真的在有限时间冲到无穷。

Clay 研究所的官方表述有四个版本，这次证明的是带光滑外力的那个。证明构造了一个极其特殊的涡，让它在第三个维度上拉伸变细，半径越缩越小，像花样滑冰运动员收拢手臂转速陡增。能量总体保持有限，但那根局部细丝上的涡量冲向无穷。这种事只能在三维发生。二维流体是另一幅图景：地球大气近似二维，小涡会合并成中涡、大涡，所以有飓风；三维湍流则相反，大涡破碎成小涡，一路碎到分子尺度耗散成热。

Steven 强调，寻找爆破反例的思路在数学界也只流行了十五年左右，因为所有物理直觉都说扩散应该能解决问题，这个反例违背的是物理直觉本身。

对工程师的日常，这个结果几乎没有影响。流体的模拟和预测，今天和两个月前一样难。这个定理的价值在更根本的层面：我们连这组方程的解是否存在都说不清，这是理解“方程里到底装着什么”的第一步。

## 湍流：缺一套坐标系

湍流为什么难？Steven 的答案是多尺度。大涡、中涡、小涡，每一个尺度都影响升力和阻力的预测。房间里的空气是反面教材：分子疯狂运动，数量达到十的二十三次方，但热力学告诉我们，温度、压强、密度这几个数就足以描述它的行为。湍流没有这种简化描述，机翼上的流、心脏里的流、河里的流，所有尺度都真实参与。

> 物理学的每一次重大突破，前面都站着一次坐标变换。把太阳放到宇宙中心，才有牛顿的 F 等于 ma。我们现在要做的，是从流体的数据里找到一套让描述变得简单、可推广的坐标系。上世纪七八十年代有很多聪明人问过同样的问题，只是当年算力不够，撞了墙。这种地方现在是最肥沃的土壤。（Steven Brunton）

Ankur 从理论计算机科学的角度补了一刀。自然界早就在解计算问题：黏菌能找迷宫最短路，Tao 证明过某些类纳维-斯托克斯方程可以模拟图灵机。纳什均衡是博弈论的标准解概念，但计算纳什均衡是困难的，Kamal Jain 有句名言：如果我的笔记本电脑找不到它，市场也找不到。一个算不出来的解概念，还能解释人们实际怎么博弈吗？湍流坐标系的存在性，也许要接受计算复杂度的约束。

最生动的证据来自昆虫。果蝇遭遇阵风时，反应速度快于“翅膀感知、传到大脑、再传回肌肉”的信号回路。生物学家几十年的研究发现，昆虫翅膀上嵌着几十到几百个应变敏感神经元，位置高度固定。翅膀被吹弯，神经元放电，局部计算直接在肩部肌肉里完成纠偏。它们没有流体力学的博士学位，不跑超级计算机模拟，靠几个关键数字就在湍流里完成了高级控制。这是“用不完整信息做鲁棒控制”的存在性证明。Ankur 补了一个棒球的例子：外野手接高飞球时不走直线，走一条略弯的弧线，因为弯路允许他不断重新评估球的轨迹。带着不确定性建模，反而得到更鲁棒的解。

## 唯一游戏猜想：上帝站在更努力的一方

Ankur 的主场来了。他先上了一堂复杂性理论速成课。可满足性问题（SAT）：给你一堆取真假的变量，拼成一个大公式，问存不存在一种赋值让整个公式为真。这类问题的特点是，检查别人的答案容易，自己找答案难。P 与 NP 问题问的就是：容易检查的问题，是否也容易求解？领域内的预设是难，整个密码学和电子商务都压在这个预设上。

通往唯一游戏猜想的第一站是 PCP 定理，1990 年代的地标性结果，登上过《纽约时报》头版。它的核心是间隙放大：如果一个公式不可满足，也就是说有人在撒谎，那么验证者只需随机抽查常数次，就能以不错的概率抓住谎言。由此发展出近似难度理论：很多问题精确求解难，那近似求解呢？到某个程度之后，连“满足百分之百还是百分之九十九”都难区分。唯一游戏猜想是 PCP 定理的加强版，如果它成立，一大类问题的最优近似算法将被一次性确定，而且形式出奇地简单。

这个猜想在 2010 年代引发拉锯战，新结果不断把人们的立场推来推去。Ankur 记得有人说过一句他忘了出处的话：

> 也许上帝会根据哪一方更努力，来决定这个猜想是真还是假。（Ankur Moitra）

OpenAI 的发布宣布唯一游戏猜想为真。Ankur 强调这背后有扎实的人类铺垫：MIT 的 Dor Minzer 和高等研究院的 Irit Dinur 等人证明了较弱的二对一游戏定理，被称为理论计算机科学界“响彻世界的枪声”，给出了通往这类结果的可行路径。当时人们觉得人类再花十年二十年也许能走到。Ankur 自己曾是怀疑派，因为唯一游戏蕴含的结论太漂亮，漂亮到不像真的。

发布当晚有个残忍的巧合。晚宴前几个小时，他在纽约大学拜访了唯一游戏猜想的提出者 Subhash Khot，随口问：如果他们发布了肯定结果的证明，你会去读吗？Khot 说，不会。Ankur 说这是很多人的真实反应：猜想被别人解决，像风头被人抢走。那些蓝图再给几年时间本来也可能走通，而人类在攀登过程中学到的东西，会随着一晚上的发布一起蒸发。

他真正担心的是年轻一代的心态。有学生跑自动化脚本去全网抓开放问题，往 arXiv 倾倒论文，他不知道这是不是好策略，但那看起来一点也不好玩。数学的起点是玩，是理解世界。他在博物馆晚宴上反复看到的，是捐助者希望孩子有个地方玩数学，是埃舍尔展览开幕。他最喜欢问年轻人一个问题：你是聪明多过好奇，还是好奇多过聪明？答案必须是好奇多过一切。

## 猫头鹰、通灵板与对齐

对话后半段转向 Ankur 的本职研究：AI 系统的数学。他先泼了盆冷水：OpenAI 那七百篇里，没有任何一篇解释深度学习或大语言模型为什么有效。拟合一个四层网络在最坏情形下是密码学级别的难题，但现实中人们每天都能拟合深得多的网络。他有自己的版本：自然厌恶真空，自然也厌恶计算困难问题。数据在演化中变得“好算”。九十年代有个思想实验：用启发式折叠蛋白质序列，折叠得好的序列存活到下一代，几代之后你得到一批启发式特别擅长的问题集。语言也一样，它在演化中变得容易被统计学习。

他讲了近年一个让他着迷的现象：潜意识学习（subliminal learning）。给模型 A 一个系统提示词，说“你热爱猫头鹰，任何话题都想办法扯到猫头鹰”，然后让它生成随机数。随机数里塞不进猫头鹰，但用这些数字去微调一个没有猫头鹰提示的模型 B，B 会在之后的每段对话里主动提起猫头鹰。偏好藏在随机数里。

解释要用到向量空间：概念以向量的形式线性嵌入在高维空间，概念数量远超维度，向量彼此不再正交，微调一个方向会对其他方向产生微小外溢。单个外溢像噪声，协调起来就能拼出字母。Ankur 的比喻是通灵板：小时候的游戏，手指按着小木块，木块在字母间滑动拼出答案。只要那些看似随机的敲击其实被协调过，板就会拼出任何你想要的话。

> 语言模型在放大数据结构里的统计关系，除了拟黎曼假设那些惊人的成就之外，它还在放大别的东西。理解它放大了什么，在部署到真实世界时至关重要。（Ankur Moitra）

Lex 把这个观察推到极端：单个模型已经是一个动力系统，多智能体集群就是一场生命游戏。一个轻微的猫头鹰偏好，在规模和时间的放大下可能长出完全意外的结构。我们的文明在技术上、社会上、地缘政治上都相当脆弱，理解这些系统在规模上的行为，需要可证明的严格性。Steven 给了一个实用的二维框架：横轴是输出的可验证性，纵轴是出错的代价。AI 证错一个定理，没人断电，低风险高可验证，是完美的应用场景；设计低阻力机翼同理，错了拿去风洞验证就行。真正需要防火墙的，是高代价、难验证的决策。FAA、医学会、律师协会，这些既有协议需要被认真接入。

## 数学被杀死过很多次

聊到无穷，Alex 讲了一段数学史上的旧危机。微积分是无数人数学教育的第一堵墙，原因有二：前面的知识漏洞在此汇合，以及这是头一次严肃处理无穷。牛顿和莱布尼茨并不理解我们今天意义上的无穷，牛顿因为那些“消逝量的鬼魂”被同时代人嘲笑。到十九世纪，危机爆发：柯西证明连续函数的极限还是连续函数，傅里叶说一堆正弦余弦加起来能得到锯齿波，两个定理打架，数学被“弄坏”了。

> 十九世纪，无穷必须被职业化。我们博士一年级的大部分课程，都是十九世纪那些危机的产物。数学被摧毁过，然后从零重建。（Ankur Moitra）

Lex 的总结很妙：数学被杀死过好几次，每次都只受了点皮外伤。这给当下的“数学危机”提供了一个历史坐标系。

至于数学是发明的还是发现的，Alex 给了个实用主义答案：问题是我们根据世界状态发明的，答案一旦问题被精确提出，就由不得我们。“我们在发现自己所发明问题的答案。”Steven 的立场是两者都是：F 等于 ma、E 等于 mc 平方这种简洁描述是人类创造的，但“万物底下存在简单可推广的描述”这件事，是我们不断发现的。他还补了一个细节：人类花了几千年才发现零，负数在西方被接受的时间竟然晚于复数。

## 菲尔兹奖还会发吗

佩雷尔曼当年拒绝菲尔兹奖和克雷研究所的百万美元奖金，留下那句“如果证明是对的，这就是我需要的全部认可”。Alex 的评论只有一句：数学家就是怪，我们欢迎各种各样的人，这正是数学世界好玩的地方。

今年夏天菲尔兹奖在费城颁发时，数学家们已经在认真讨论：这是不是最后一届？Alex 希望不是，但他把奖项的功能说得很透：获奖者本来就是顶尖学校的终身教授，奖的意义在于庆祝一种活动，宣告“我们认为这是重要的”。解决重大难题这件事，AI 系统也能做了，它不再稀缺，也就不再值钱。如果半人马数学成为主流，值得庆祝的东西会变，奖的形式也得跟着变。

他倒是描绘了一个让人振奋的日常图景。现在他给研究生一篇论文，一周后学生回来承认卡在第一段，因为第一句“非局部系统的微扰理论”里每个词都不认识。Alex 说你该跳过前两段直接看引理三，倒着读。未来的学生没有“我不懂这个词”这回事：丢给大语言模型，它会定位你的最近发展区，把你已知的一切和下一步需要听的东西对齐。不只是孩子，像他这样的老家伙也能快速学新领域。学数学依然难，但这个工具会让理解提速。

## 给被时代吓到的年轻人

节目最后是建议环节，三位嘉宾面对的是一群正在焦虑的研究生、本科生和高中生。

Alex 对纯数学博士生的建议出人意料地传统：照老规矩办，学你的脑子能承受的最难、最抽象的数学，越多越好。他对本科生的观察更有意思：成绩分布正在从正态变成双峰。一类学生用 AI 检查理解，“教授课上那句话什么意思？这是我这三周的笔记，来考我”，成绩越来越好；另一类学生“作业一小时后截止，直接告诉我答案，我用自己的话抄一遍”，作业成绩和考试成绩出现脱钩。他的建议浓缩成一句：做分布的头部，别做尾部。

计算器和九九乘法表是 Alex 反复引用的历史教训。计算器问世七十年，我们依然要求孩子背乘法表，因为当年听信“不用学乘法表”的那批学生，后来吃了大苦头。机器会做，不代表你该放弃自己会做的能力。孩子第一次学会系鞋带时的那种狂喜，就是对掌握技能的天然渴望。

Steven 补了两条。其一，超级智能不蕴含超级道德，它给你的是超强的合理化能力，普通人的常识早就知道，话说得再漂亮也未必是对的，教育和智慧是两回事。其二，无聊是重要的。好奇心和专注力常常从无聊里长出来，他希望自己能更经常地无聊。

Ankur 的建议最动感情。他注意到很多学术界的人做事靠外部评价，靠别人怎么看自己，这能撑你起步，但里程碑总会用完，之后必须靠内在理由。他讲了自己在 MIT 开学典礼演讲前的思考：帕洛阿尔托的咖啡馆里弥漫着大学申请焦虑，整个社会都在教十七岁的孩子优化简历。可他记得自己刚上大学时，在小本子上排四年课表，就为了大二能选上光子学，他根本不知道光子学是什么，只是觉得这词好玩。他转述了 Sanjeev Arora 在他入职 MIT 时给的建议：

> 拿终身教职最容易的办法，是假装你已经拿到了，然后去做你一直想做的事。（Ankur Moitra 引述 Sanjeev Arora）

Lex 最后补充了两层。一层是诚实：台上坐着三个世界级大脑，全是幸存者偏差，听众里很多人正在真实的恐惧里挣扎。另一层是方法：Max Tegmark 的建议是在体系内做足够多的正经工作，同时保留一部分离经叛道，就像 Tom Waits 唱的“我喜欢我的汤里加一点毒药”，一点点怪，有时是很多怪，才造就有趣的人。Steven 的收尾落在最朴素的地方：三十年的人机实验做到今天，我们大概会发现，自己还是更喜欢和人打交道。科学成就是樱桃，家人、朋友、身边的人才蛋糕本身。

- 如果你是数学或理论计算机方向的博士生：照旧去啃最难、最抽象的核心课程，同时把大语言模型当成随叫随到的导师，用它定位自己的知识缺口，但别让它代写你的思考。
- 选问题时用“防未来”过滤器：如果你判断下一代模型很快就能解决它，放下它去休假；值得投入的，是几年后你依然在乎的问题。
- 做分布的头部：用 AI 检查理解、生成测验、逼问自己，而不是让它直接给答案。当作业成绩和考试成绩开始脱钩，掉队的永远是后一种用法。
- 保留无聊的时间。关掉通知，让好奇心在没有投喂的环境里自己发芽，刷不完的信息流和好奇心用的是同一台引擎。
- 尽早建立“顾问技能”：面对非专业领域的信息，练习判断什么时候该深挖、什么时候该反驳，这是 AI 时代的基础生存能力。
- 假装你已经拿到了终身教职、已经赢了，然后问自己此刻会做什么。找到那件重要、有趣、你又擅长的事，三条占两条已经幸运，占全三条能幸福一辈子。